Estude quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes:
Passo 1
A matriz em estudo é
A=1&0&0m&2&0n&0&2
Vamos verificar se ela é diagonalizável estudando seus autovalores e autovetores, ou seja, comparando multiplicidade algébrica e geométrica de cada um.
Passo 2
Como A é triangular, os autovalores são os elementos da diagonal. Assim temos
logo o espaço próprio de lambda=1 tem dimensão 1, que coincide com sua multiplicidade algébrica.
Passo 4
Para lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0. Temos
A-2I=-1&0&0m&0&0n&0&0
As equações impõem x1=0 e deixam x2 e x3 livres. Assim o espaço próprio de lambda=2 tem dimensão 2, igual à sua multiplicidade algébrica.
Passo 5
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica, existem 3 autovetores linearmente independentes. Portanto a matriz é diagonalizável para quaisquer valores de m e n.
Resposta
A é diagonalizável para todos os valores de m e n.