Estude quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes:
ccc1 & 0 & 0 m & 2 & 0 n & 0 & 2

Passo 1

A matriz em estudo é
A=1&0&0m&2&0n&0&2
Vamos verificar se ela é diagonalizável estudando seus autovalores e autovetores, ou seja, comparando multiplicidade algébrica e geométrica de cada um.

Passo 2

Como A é triangular, os autovalores são os elementos da diagonal. Assim temos
lambda1=1(mu< algébrica 1), lambda2=2(mu< algébrica 2) éé

Passo 3

Para lambda=1, calculamos (A-I)x=0. Temos
A-I=0&0&0m&1&0n&0&1
As equações dão
x2=-m x1, x3=-n x1, x1 livre,
logo o espaço próprio de lambda=1 tem dimensão 1, que coincide com sua multiplicidade algébrica.

Passo 4

Para lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0. Temos
A-2I=-1&0&0m&0&0n&0&0
As equações impõem x1=0 e deixam x2 e x3 livres. Assim o espaço próprio de lambda=2 tem dimensão 2, igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 5

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica, existem 3 autovetores linearmente independentes. Portanto a matriz é diagonalizável para quaisquer valores de m e n.

Resposta

A é diagonalizável para todos os valores de m e n.

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