encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P^{-1} A P.
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal de
A = \begin{bmatrix}3 & 1 \\[6pt] 1 & 3\end{bmatrix}
ou seja, encontrar uma matriz ortogonal P (com colunas ortonormais) tal que
P^{-1} A P
seja diagonal. Para isso, vamos usar que toda matriz simétrica real admite diagonalização ortogonal via autovalores e autovetores ortonormais.]

Passo 2

Calcular os autovalores de A resolvendo o polinômio característico
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) \;=\; 0.
Escrevendo
A - \lambda I = \begin{bmatrix}3-\lambda & 1 \\[4pt]1 & 3-\lambda\end{bmatrix},
temos
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = (3-\lambda)^2 - 1 \;=\; \lambda^2 - 6\lambda + 8.
Logo,
\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2 \quad\text{ou}\quad \lambda = 4.]

Passo 3

Para cada autovalor calculamos um autovetor:
  1. Para \lambda_1 = 4, resolvemos
    \bigl(A - 4I\bigr)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix}-1 & 1 \\[4pt]1 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\\ y\end{bmatrix} = 0,
    daí x = y. Um autovetor é v_1 = \begin{bmatrix}1 \\\\ 1\end{bmatrix}.
  2. Para \lambda_2 = 2, resolvemos
    \bigl(A - 2I\bigr)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix}1 & 1 \\[4pt]1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\\ y\end{bmatrix} = 0,
    daí x = -y. Um autovetor é v_2 = \begin{bmatrix}1 \\\\ -1\end{bmatrix}.]

Passo 4

Normalizar os autovetores para torná-los ortonormais. O comprimento de cada um é
\|v_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \qquad \|v_2\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.
Logo os vetores normalizados são
u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 \\\\ 1\end{bmatrix}, \quad u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 \\\\ -1\end{bmatrix},
que são claramente ortogonais entre si.

Passo 5

Construir P cujas colunas são u_1 e u_2. Assim
P = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}.
Como P é ortogonal, temos P^{-1} = P^\top.]

Passo 6

Calcular
P^{-1} A P = P^\top A P.
Pela construção com autovetores, o resultado é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores na ordem dos vetores em P. Logo
P^{-1} A P = \begin{bmatrix}4 & 0 \\[4pt]0 & 2\end{bmatrix}.]

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix},
e a forma diagonal é
P^{-1} A P = \begin{bmatrix}4 & 0 \\[4pt]0 & 2\end{bmatrix}.]

Exercícios relacionados