encontre uma matriz
que diagonaliza
ortogonalmente e determine
.
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização ortogonal de
ou seja, encontrar uma matriz ortogonal
(com colunas ortonormais) tal que
seja diagonal. Para isso, vamos usar que toda matriz simétrica real admite diagonalização ortogonal via autovalores e autovetores ortonormais.]
Passo 2
Calcular os autovalores de
resolvendo o polinômio característico
Escrevendo
temos
Logo,
Passo 3
Para cada autovalor calculamos um autovetor:
-
Para
, resolvemosdaí . Um autovetor é . -
Para
, resolvemosdaí . Um autovetor é .]
Passo 4
Normalizar os autovetores para torná-los ortonormais. O comprimento de cada um é
Logo os vetores normalizados são
que são claramente ortogonais entre si.
Passo 5
Construir
cujas colunas são
e
. Assim
Como
é ortogonal, temos
.]
Passo 6
Calcular
Pela construção com autovetores, o resultado é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores na ordem dos vetores em
. Logo
Resposta
A matriz ortogonal que diagonaliza
é
e a forma diagonal é