Verifique, seguindo os passos dos exemplos anteriores, se T dada a seguir é diagonalizável.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada pela matriz na base canônica [T]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz na base canônica é
[T]=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 0 & -3 & 1\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
e pede para verificar se T é diagonalizável. Vamos usar conceitos de valores próprios, multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio.

Passo 2

Como [T] é triangular superior, os valores próprios são os elementos da diagonal:
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=-3,\quad \lambda_3=-3.
Logo o polinômio característico é
\chi_T(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+3)^2.

Passo 3

Da forma fatorada de \chi_T(\lambda) vemos as multiplicidades algébricas:
\text{mult. alg.}(\lambda=2)=1, \qquad \text{mult. alg.}(\lambda=-3)=2.

Passo 4

Calculamos o espaço próprio de \lambda=2 resolvendo
(T-2I)x=0\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -5 & 1\\\\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações dão x_3=0 e -5x_2+ x_3=0\implies x_2=0, ficando x_1 livre. Então
E_{2}=\{(x_1,0,0)\}\quad\text{tem dimensão }1.ã

Passo 5

Para \lambda=-3 resolvemos
(T+3I)x=0\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 5 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem x_3=0 e da primeira 5x_1+x_3=0\implies x_1=0, ficando x_2 livre. Assim
E_{-3}=\{(0,x_2,0)\}\quad\text{tem dimensão }1.ã

Passo 6

Para ser diagonalizável, cada valor próprio deve ter multiplicidade geométrica igual à algébrica. Aqui \lambda=-3 tem mult.\ alg. =2 e mult.\ geom. =1. Logo T não é diagonalizável.

Resposta

T não é diagonalizável.

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