Encontre a matriz que muda as coordenadas de um vetor u=(x, y, z)B escrito na base
B=(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1)
para a base
B^prime=(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1)
Encontre as coordenadas do vetor v=(1,1,2)B na base B^prime.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de coordenadas de uma base B para outra base B' em R^3 e depois as coordenadas de um vetor v (dadas em B) na base B'. Para isso, vamos expressar cada vetor de B como combinação linear dos vetores de B', montar a matriz de transformação e em seguida aplicá-la a [v]B.

Passo 2

Para b1=(1,1,0) buscamos alpha,beta,gamma tais que
alpha,(1,0,0)+beta,(1,0,1)+gamma,(1,1,1)=(1,1,0)
Isto gera o sistema
alpha+beta+gamma=1, gamma=1, beta+gamma=0
Da segunda equação gamma=1. Da terceira beta=-1. Substituindo na primeira vem alpha=1. Logo
(b1)B'=(1,-1,1)

Passo 3

Para b2=(0,1,0) resolvemos
alpha+beta+gamma=0, gamma=1, beta+gamma=0
e achamos (b2)B'=(0,-1,1).
Para b3=(0,1,1) resolvemos
alpha+beta+gamma=0, gamma=1, beta+gamma=1
e achamos (b3)B'=(-1,0,1).

Passo 4

A matriz de mudança de base de B para B' tem colunas dadas por essas coordenadas:
C= 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 0 1 & 1 & 1

Passo 5

Como v=(1,1,2)B, basta multiplicar
[v]B' ;=; C112 = 1cdot1+0cdot1+(-1)cdot2 -1cdot1+(-1)cdot1+0cdot2 1cdot1+1cdot1+1cdot2 =-1-24

Resposta

boxed C= 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 , [v]B'=-1-24

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