Exercício 21 (Cubo) Considere-se um cubo A B C D E F G H de aresta unitária; considere-se um sistema ortonormal de coordenadas cartesianas (A ; A B, A D, A E).
21.2 Mostrar que o vetor n=(1 ;-1 ; 1) é um vetor normal ao plano ( B G E ). Determinar uma equação do plano ( B G E).

Passo 1

O enunciado dá um cubo A B C D E F G H de aresta unitária, com sistema de coordenadas em A cujos eixos são A B, A D e A E. Precisamos mostrar que
vec n=(1,-1,1)
é normal ao plano que passa por B, G e E, e depois determinar a equação desse plano.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as coordenadas dos vértices B, E e G nesse sistema:
B=(1,0,0), E=(0,0,1), G=(1,1,1)
Duas direções do plano (BGE) são
BG=G-B=(0,1,1),
BE=E-B=(-1,0,1)

Passo 3

Para mostrar que vec n é perpendicular ao plano, basta verificar que
vec ncdotBG =1cdot0+(-1)cdot1+1cdot1=0,
vec ncdotBE =1cdot(-1)+(-1)cdot0+1cdot1=0
Como vec n é ortogonal a duas direções não colineares do plano, ele é um vetor normal ao plano (BGE).

Passo 4

A equação de um plano com vetor normal vec n=(1,-1,1) que passa por B=(1,0,0) vem de
vec ncdotl((x,y,z)-Br)=0 ;Longrightarrow; 1,(x-1)-1,(y-0)+1,(z-0)=0,
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x - y + z = 1

Resposta

A reta normal ao plano (BGE) é dada por vec n=(1,-1,1) e a equação do plano é
x - y + z = 1

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