Exercício 24 (Equações paramétricas) Considere-se o espaço munido de um sistema de coordenadas ortonormais (O ; imath, jmath, k). Sejam s, t in R parâmetros reais. Considere-se o plano com equação geral (P): x-2 y+3 z=-5; considerem-se o plano ( Q ) e a reta (R) com as respectivas representações paramétricas
(Q):l x=-2+s+2 t y=-s-2 t z=-1-s+3 t (s, t in R) (R):l x=-2+t y=-t z=-1-t (t in R)
Considerem-se os pontos M=(-1 ; 2 ; 3), N=(1 ;-2 ; 9).
24.5 Determinar, se existir, uma representação paramétrica da reta (S), interseção dos planos (P) e (Q).

Passo 1

O enunciado pede a reta (S)= (P)cap(Q). Aqui o conteúdo é interseção de dois planos no espaço, que dá uma reta (quando não são paralelos nem coincidentes). Para encontrá-la, vamos usar a representação paramétrica do plano (Q) e impor-lhe a equação do plano (P).

Passo 2

Escrevemos a parametrização de (Q):
x(s,t) = -2 + s + 2t, y(s,t) = -s - 2t, z(s,t) = -1 - s + 3t

Passo 3

Impondo que (x(s,t),y(s,t),z(s,t)) satisfaça a equação de (P), ou seja
x - 2y + 3z = -5,
substituímos x(s,t), y(s,t) e z(s,t) nessa equação:
(-2 + s + 2t);-;2(-s - 2t);+;3(-1 - s + 3t) ;=;-5

Passo 4

Calculamos o lado esquerdo:
-2 + s + 2t + 2s + 4t -3 -3s +9t = (-2-3) + (s+2s-3s) + (2t+4t+9t) = -5 + 15t
Assim a condição fica
-5 + 15t = -5 Longrightarrow 15t = 0 Longrightarrow t = 0

Passo 5

Como t=0, a reta (S) vem de
x = -2 + s, y = -s, z = -1 - s,
onde sinR é nosso parâmetro. Podemos escrever de modo mais compacto tomando lambda=s:
(S): x = -2 + lambda, y = -lambda, z = -1 - lambda, lambdainR

Resposta

(S): x = -2 + lambda, y = -lambda, z = -1 - lambda, lambdainR

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