Seja T: R^3 longrightarrow R^3 dada por T(x, y, z)=(x,-y, z). Considere B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) duas bases de R^3. Encontre uma matriz P tal que
[T]C=P^-1[T]B P

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x,-y,z), e dá duas bases:
B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), C=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
Queremos uma matriz P tal que
[T]C=P^-1,[T]B,P
Vamos primeiro achar [T]B e depois construir P como matriz de mudança de base de C para B.

Passo 2

Para calcular [T]B aplicamos T aos vetores de B (que é a base canônica):
T(1,0,0)=(1,0,0),; T(0,1,0)=(0,-1,0),; T(0,0,1)=(0,0,1)
Isso mostra que, na base B,
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & -1& 0 0 & 0 & 1

Passo 3

A matriz P que faz a conjugação entre [T]B e [T]C é justamente a matriz de mudança de coordenadas de C para B. Seus vetores coluna são as coordenadas, na base B, dos vetores de C. Como
c1=(1,1,0), c2=(1,0,1), c3=(0,1,1),
temos
P= 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1

Passo 4

Pela teoria de mudança de base, essa P satisfaz exatamente
[T]C=P^-1,[T]B,P
Não é necessário calcular P^-1 nem a matriz final [T]C para responder ao que foi pedido.

Resposta

P= 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1

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