Exercício 25 (Retas e planos no espaço) Considere-se o espaço munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(-1 ; 2 ; 0), B(1 ; 2 ; 4), C(-1 ; 1 ; 1).
25.3 Sejam os planos (P1): 3 x+y-2 z=-3 e o plano (P2) que contém a origem O das coordenadas e que é paralelo ao plano de equação geral x-2 z=-6. Determinar a equação do plano (P2). Mostrar que os planos (P1) e (P2) são concorrentes. Determinar uma representação paramétrica da reta (R)=(P1) cap(P2), interseção dos dois planos.

Passo 1

O enunciado pede:
– Encontrar a equação do plano (P2) que passa por O e é paralelo ao plano de equação geral x-2z=-6.
– Mostrar que (P1)colon 3x+y-2z=-3 e (P2) são concorrentes.
– Determinar a representação paramétrica da reta (R)=(P1)cap(P2).
Conteúdo: planos no espaço, norma de plano, paralelismo e interseção de dois planos.

Passo 2

Um plano paralelo a x-2z=-6 tem o mesmo vetor normal n2=(1,0,-2). Como (P2) passa pela origem, sua equação é
1cdot x+0cdot y-2cdot z=0,
ou seja
(P2)colon x-2z=0

Passo 3

Os vetores normais são
n1=(3,1,-2)e n2=(1,0,-2)
Eles não são colineares (não existe lambdaneq0 tal que n1=lambdan2), logo os planos não são paralelos nem coincidentes e, portanto, intersectam-se numa reta.

Passo 4

Para achar a reta de interseção resolvemos o sistema
3x+y-2z=-3, x-2z=0
Da segunda equação vem x=2z. Seja z=t. Então x=2t. Substituindo na primeira:
3(2t)+y-2t=-3;Longrightarrow;4t+y=-3;Longrightarrow;y=-3-4t
Logo uma representação paramétrica de (R) é
(x,y,z)=(2t,,-3-4t,;t) (tinR),
ou de forma vetorial
(x,y,z)=(0,-3,0)+t,(2,-4,1)

Resposta

Equação de (P2):
x-2z=0
Os planos são concorrentes e a reta de interseção (R) tem representação paramétrica
(x,y,z)=(2t,,-3-4t,;t), tinR

Exercícios relacionados