Exercício 25 (Retas e planos no espaço) Considere-se o espaço munido de um sistema ortonormal
de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos
.
25.3 Sejam os planos
e o plano
que contém a origem
das coordenadas e que é paralelo ao plano de equação geral
. Determinar a equação do plano
. Mostrar que os planos
e
são concorrentes. Determinar uma representação paramétrica da reta
, interseção dos dois planos.
25.3 Sejam os planos
Passo 1
O enunciado pede:
– Encontrar a equação do plano que passa por
e é paralelo ao plano de equação geral
.
– Mostrar que e
são concorrentes.
– Determinar a representação paramétrica da reta .
Conteúdo: planos no espaço, norma de plano, paralelismo e interseção de dois planos.
– Encontrar a equação do plano
– Mostrar que
– Determinar a representação paramétrica da reta
Conteúdo: planos no espaço, norma de plano, paralelismo e interseção de dois planos.
Passo 2
Um plano paralelo a
tem o mesmo vetor normal
. Como
passa pela origem, sua equação é
ou seja
Passo 3
Os vetores normais são
Eles não são colineares (não existe
tal que
), logo os planos não são paralelos nem coincidentes e, portanto, intersectam-se numa reta.
Passo 4
Para achar a reta de interseção resolvemos o sistema
Da segunda equação vem
. Seja
. Então
. Substituindo na primeira:
Logo uma representação paramétrica de
é
ou de forma vetorial
Resposta
Equação de
:
Os planos são concorrentes e a reta de interseção
tem representação paramétrica