Encontre a matriz de mudança da base canônica C para a base B do item (a).
B=1,1-t,(1-t)^2

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança da base canônica C=1,t,t^2 para a base
B=1,;1-t,;(1-t)^2 em P2(R).
Ou seja, queremos a matriz P tal que, para qualquer polinômio p, valha
[p]B ;=; P,[p]C
Para isso, primeiro expressamos os vetores de B em coordenadas da base C.

Passo 2

Expressamos cada vetor de B em termos de 1,t,t^2:
1 = 1, 1-t = 1 - t, (1-t)^2 = 1 - 2t + t^2
Logo, as coordenadas em C são, respectivamente,
(1,0,0), (1,-1,0), (1,-2,1)

Passo 3

Montamos a matriz de mudança de B para C, cujas colunas são essas coordenadas:
M ;=; 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1
Para obter a matriz de mudança de C para B, precisamos calcular M^-1.

Passo 4

Observando que M é triangular superior, calculamos
M^2 = 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1 ! 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Como M^2=I, segue que M^-1=M. Portanto, a matriz de mudança de C para B é

Resposta

P ;=; M^-1 ;=; 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1

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