formam uma base do espaço vetorial M2(R). O conteúdo é teoria de espaço vetorial: para provar que um conjunto é base, mostramos que ele é linearmente independente e, tendo quatro vetores em M2(R) (que tem dimensão 4), isso já garante que eles geram todo o espaço.
Passo 2
Lembramos que
M2(R)=todas as matrizes 2times2 com entradas em R
e dim M2(R)=4. Portanto, basta provar que v1,v2,v3,v4 são linearmente independentes: quatro vetores independentes em espaço de dimensão 4 formam base.
Da terceira equação vem alpha2=0.
Da segunda, alpha1=-alpha3.
Da quarta, alpha4=-alpha3.
Substituindo em alpha1+alpha2+alpha4=0 dá -alpha3+0+(-alpha3)=0, ou seja -2alpha3=0, logo alpha3=0. Assim alpha1=alpha2=alpha3=alpha4=0. Isso prova a independência linear.
Passo 4
Como v1,v2,v3,v4 são quatro vetores em M2(R) (dimensão 4) e são linearmente independentes, concluímos que eles formam uma base de M2(R).