Mostre que as matrizes v1=[ll1 & 1 0 & 0], v2=[ll1 & 0 1 & 0], v3=[ll0 & 1 0 & 1] e v4=[ll1 & 0 0 & 1] formam uma base para o espaço vetorial M2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
v1=1 & 10 & 0, v2=1 & 01 & 0, v3=0 & 10 & 1, v4=1 & 00 & 1
formam uma base do espaço vetorial M2(R). O conteúdo é teoria de espaço vetorial: para provar que um conjunto é base, mostramos que ele é linearmente independente e, tendo quatro vetores em M2(R) (que tem dimensão 4), isso já garante que eles geram todo o espaço.

Passo 2

Lembramos que
M2(R)=todas as matrizes 2times2 com entradas em R
e dim M2(R)=4. Portanto, basta provar que v1,v2,v3,v4 são linearmente independentes: quatro vetores independentes em espaço de dimensão 4 formam base.

Passo 3

Suponha que exista combinação linear nula
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4 =0&00&0
Calculando a soma, obtemos
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4 = alpha1+alpha2+alpha4 & alpha1+alpha3 alpha2 & alpha3+alpha4
Igualando à matriz zero, surge o sistema
alpha1+alpha2+alpha4=0 alpha1+alpha3=0 alpha2=0 alpha3+alpha4=0
Da terceira equação vem alpha2=0.
Da segunda, alpha1=-alpha3.
Da quarta, alpha4=-alpha3.
Substituindo em alpha1+alpha2+alpha4=0 -alpha3+0+(-alpha3)=0, ou seja -2alpha3=0, logo alpha3=0. Assim alpha1=alpha2=alpha3=alpha4=0. Isso prova a independência linear.

Passo 4

Como v1,v2,v3,v4 são quatro vetores em M2(R) (dimensão 4) e são linearmente independentes, concluímos que eles formam uma base de M2(R).

Resposta

Os vetores v1,v2,v3,v4 formam uma base de M2(R).

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