Encontre a matriz de mudança de base do sistema de coordenadas (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) para (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a matriz que leva as coordenadas de um vetor escritas na base canônica
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
para as coordenadas desse mesmo vetor na base
(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).
Seja B=v1,v2,v3 com
v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1)
Chamamos de S a matriz cujas colunas são v1,v2,v3 em coordenadas canônicas. Então qualquer vetor x satisfaz
[x]can = S,[x]B
Para obter [x]B a partir de [x]can precisamos de S^-1.

Passo 2

Montamos a matriz S com as colunas iguais a v1,v2,v3:
S = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de S para garantir que ela é invertível:
det S =1cdotdet!1&01&1 -0 +1cdotdet!1&10&1 =1cdot1 + 1cdot1 = 2

Passo 4

Usamos a matriz de cofatores para obter a adjunta e, em seguida, a inversa:
adj(S) = 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 , S^-1=1det S,adj(S) =12 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1

Resposta

A matriz de mudança de base do sistema canônico para (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) é
12 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1

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