Seja B=(1,0),(0,1) a base canônica de R^2, e B^prime=(1,1),(1,-1). Determine a matriz de mudança de base de B para B^prime.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de B (base canônica) para B'. Formalmente, queremos a matriz P tal que, para todo vinR^2,
[v]B' ;=; P,[v]B
Para isso, basta expressar cada vetor da base canônica B=(1,0),(0,1) em coordenadas da base B'=(1,1),(1,-1).

Passo 2

Vamos escrever
Isso dá o sistema
Da segunda equação segue , logo
Portanto, as coordenadas de em são .

Passo 3

Agora escrevemos
Isso dá
Da primeira equação , logo
As coordenadas de em são .

Passo 4

A matriz P de mudança de base de B para B' tem como colunas exatamente as coordenadas dos vetores de B em B'. Assim,
P = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12

Resposta

PBto B' = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12

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