Em P2, encontre a matriz de mudança de coordenadas da base B=1-3 t^2, 2 +t-5 t^2, 1+2 t para a base canônica. Depois, escreva t^2 como combinação linear dos polinômios em B.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em P2:
  1. A matriz de mudança de coordenadas da base
B = ,1-3t^2,;2 + t -5t^2,;1+2t
para a base canônica
E = ,1,;t,;t^2
  1. Escrever o polinômio t^2 como combinação linear dos vetores de B.

Passo 2

Para montar a matriz de mudança de coordenadas de B para E, basta expressar cada vetor de B em coordenadas na base canônica 1,t,t^2.
  • b1 = 1-3t^2 tem coordenadas (1,0,-3).
  • b2 = 2 + t -5t^2 tem coordenadas (2,1,-5).
  • b3 = 1 +2t tem coordenadas (1,2,0).

Passo 3

Colocando essas colunas na ordem (b1,b2,b3), a matriz de mudança de coordenadas de B para E é
PBto E = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 -3 & -5 & 0

Passo 4

Para escrever t^2 como combinação linear dos vetores de B, procuramos escalares x1,x2,x3 tais que
x1(1-3t^2) ;+; x2(2 + t -5t^2);+; x3(1+2t) ;=; t^2
Comparando coeficientes em 1, t e t^2, obtemos o sistema
x1 + 2x2 + x3 = 0, ;x2 +2x3 = 0, -3x1 -5x2 = 1

Passo 5

Resolvendo:
x2 = -2x3, x1 = 3x3, -3(3x3) -5(-2x3)=1 ;Longrightarrow; x3=1,
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x1=3, x2=-2, x3=1
Portanto
t^2 = 3,(1-3t^2);-;2,(2+t-5t^2);+;(1+2t)

Resposta

A matriz de mudança de coordenadas de B para a base canônica é
PBto E = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 -3 & -5 & 0
E a expressão de t^2 em função de B é
t^2 = 3,(1-3t^2);-;2,(2+t-5t^2);+;(1+2t)

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