Sejam B=b1, b2 e C=c1, c2 bases para R^2. Em cada exercício, determine a matriz de mudança de coordenadas de B para C e a matriz de mudança de coordenadas de C para B.
b1=[l7 5], b2=[l-3 -1], c1=[r1 -5], c2=[r-2 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as matrizes de mudança de coordenadas entre duas bases B = b1, b2 e C = c1, c2 no R^2. Para isso, precisamos entender como converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra. Vamos usar vetores das bases dadas:
b1 = 7 5 , b2 = -3 -1 , c1 = 1 -5 , c2 = -2 2

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de coordenadas. Basicamente, ela permite converter as coordenadas de qualquer vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos duas matrizes: uma para ir de B para C e outra para ir de C para B .

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de B para C , que chamaremos de PB to C . Para isso, precisamos expressar cada vetor da base B em termos da base C .
Ou seja, precisamos achar coeficientes a e b tais que:
b1 = a c1 + b c2
b2 = c c1 + d c2

Passo 4

Vamos resolver para b1 :
7 5 = a 1 -5 + b -2 2 = a - 2b -5a + 2b
Isso nos dá o sistema de equações:
a - 2b = 7 -5a + 2b = 5

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
a = 7 + 2b
Substituindo na segunda equação:
-5(7 + 2b) + 2b = 5 -35 - 10b + 2b = 5 -35 - 8b = 5 -8b = 40 b = -5
Então,
a = 7 + 2(-5) = 7 - 10 = -3

Passo 6

Agora, fazemos o mesmo para b2 :
-3 -1 = c 1 -5 + d -2 2 = c - 2d -5c + 2d
Sistema de equações:
c - 2d = -3 -5c + 2d = -1

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
c = -3 + 2d
Substituindo na segunda equação:
-5(-3 + 2d) + 2d = -1 15 - 10d + 2d = -1 15 - 8d = -1 -8d = -16 d = 2
Então,
c = -3 + 2(2) = -3 + 4 = 1

Passo 8

Agora que temos os coeficientes, podemos montar a matriz de mudança de coordendas de B para C :
PB to C = -3 & 1 -5 & 2

Passo 9

Para encontrar a matriz de mudança de C para B , que é a inversa de PB to C , ou seja, PC to B = (PB to C)^-1 .
Vamos calcular a inversa da matriz PB to C :
PB to C = -3 & 1 -5 & 2
O determinante de PB to C é:
det(PB to C) = (-3)(2) - (1)(-5) = -6 + 5 = -1
Então, a inversa é:
PC to B = 1det(PB to C) 2 & -1 5 & -3 = -2 & 1 -5 & 3

Resposta

A matriz de mudança de coordenadas de B para C é:
PB to C = -3 & 1 -5 & 2
E a matriz de mudança de coordenadas de C para B é:
PC to B = -2 & 1 -5 & 3

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