Sejam B=b1, b2 e C=c1, c2 bases para R^2. Em cada exercício, determine a matriz de mudança de coordenadas de B para C e a matriz de mudança de coordenadas de C para B.
b1=[r-1 8], b2=[r1 -5], c1=[l1 4], c2=[l1 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases, B = b1, b2 e C = c1, c2, para o espaço R^2. Nosso objetivo é encontrar duas matrizes:
  1. A matriz que muda as coordenadas de B para C.
  2. A matriz que muda as coordenadas de C para B.
Para isso, vamos precisar entender como essas mudanças de base funcionam e usar algumas operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base de B para C transforma as coordenadas de um vetor que está na base B para as coordenadas na base C. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base B em termos da base C.

Passo 3

Vamos começar expressando b1 e b2 em termos de c1 e c2. Isso significa que precisamos encontrar coeficientes a, b, c, e d tais que:
b1 = ac1 + bc2
b2 = cc1 + dc2
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de a, b, c e d.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a e b para b1:
-1 8 = a 1 4 + b 1 1
Isso dá o sistema:
-1 = a + b
8 = 4a + b
Subtraindo a primeira equação da segunda:
8 - (-1) = (4a + b) - (a + b) implies 9 = 3a implies a = 3
Então, substituindo a = 3 na primeira equação:
-1 = 3 + b implies b = -4

Passo 5

Agora, vamos encontrar c e d para b2:
1 -5 = c 1 4 + d 1 1
Isso dá o sistema:
1 = c + d
-5 = 4c + d
Subtraindo a primeira equação da segunda:
-5 - 1 = (4c + d) - (c + d) implies -6 = 3c implies c = -2
Então, substituindo c = -2 na primeira equação:
1 = -2 + d implies d = 3

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, a matriz de mudança de coordenadas de B para C é formada por esses valores:
MB to C = a & c b & d = 3 & -2 -4 & 3

Passo 7

Para encontrar a matriz de mudança de coordenadas de C para B, vamos fazer o inverso. A matriz de mudança de C para B é simplesmente a inversa da matriz MB to C que encontramos.
Vamos calcular a inversa de MB to C:
MC to B = ( MB to C )^-1 = 3 & -2 -4 & 3 ^-1
Calculando o determinante:
det(M) = (3)(3) - (-2)(-4) = 9 - 8 = 1
Então, a inversa é:
3 & -2 -4 & 3 ^-1 = 11 3 & 2 4 & 3 = 3 & 2 4 & 3

Resposta

A matriz de mudança de coordenadas de B para C é:
MB to C = 3 & -2 -4 & 3
E a matriz de mudança de coordenadas de C para B é:
MC to B = 3 & 2 4 & 3

Exercícios relacionados