Sejam e bases para . Em cada exercício, determine a matriz de mudança de coordenadas de para e a matriz de mudança de coordenadas de para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases, B = b1, b2 e C = c1, c2, para o espaço R^2. Nosso objetivo é encontrar duas matrizes:
A matriz que muda as coordenadas de B para C.
A matriz que muda as coordenadas de C para B.
Para isso, vamos precisar entender como essas mudanças de base funcionam e usar algumas operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base de B para C transforma as coordenadas de um vetor que está na base B para as coordenadas na base C. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base B em termos da base C.
Passo 3
Vamos começar expressando b1 e b2 em termos de c1 e c2. Isso significa que precisamos encontrar coeficientes a, b, c, e d tais que:
b1 = ac1 + bc2
b2 = cc1 + dc2
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de a, b, c e d.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a e b para b1:
-1 8 = a 1 4 + b 1 1
Isso dá o sistema:
-1 = a + b
8 = 4a + b
Subtraindo a primeira equação da segunda:
8 - (-1) = (4a + b) - (a + b) implies 9 = 3a implies a = 3
Agora que temos todos os coeficientes, a matriz de mudança de coordenadas de B para C é formada por esses valores:
MB to C = a & c b & d = 3 & -2 -4 & 3
Passo 7
Para encontrar a matriz de mudança de coordenadas de C para B, vamos fazer o inverso. A matriz de mudança de C para B é simplesmente a inversa da matriz MB to C que encontramos.
Vamos calcular a inversa de MB to C:
MC to B = ( MB to C )^-1 = 3 & -2 -4 & 3 ^-1
Calculando o determinante:
det(M) = (3)(3) - (-2)(-4) = 9 - 8 = 1
Então, a inversa é:
3 & -2 -4 & 3 ^-1 = 11 3 & 2 4 & 3 = 3 & 2 4 & 3
Resposta
A matriz de mudança de coordenadas de B para C é:
MB to C = 3 & -2 -4 & 3
E a matriz de mudança de coordenadas de C para B é: