Encontre uma matriz ortogonal \left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, cuja primeira linha é dada por
a_{11}=\frac{1}{3}, a_{12}=\frac{2}{3}, a_{13}=\frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede uma matriz ortogonal A\in\mathbb{R}^{3\times3} cuja primeira linha é
r_{1}=\bigl(a_{11},a_{12},a_{13}\bigr)=\Bigl(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\Bigr).
Para construir A ortogonal, precisamos que suas linhas formem um sistema ortonormal em \mathbb{R}^3. Vamos completar r_{1} para um conjunto ortonormal \{r_{1},r_{2},r_{3}\} usando Gram–Schmidt e produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos um vetor v que não seja colinear a r_{1} e seja fácil de trabalhar. Note que r_{1} é paralelo a (1,2,2), então uma escolha simples é
v=(2,-1,0),
pois
(1,2,2)\cdot(2,-1,0)=2-2+0=0,
ou seja, v já é ortogonal a r_{1}. Assim, aplicamos Gram–Schmidt apenas para normalizar:
r_{2}=\frac{v}{\|v\|}=\frac{1}{\sqrt{2^2+(-1)^2+0^2}}\,(2,-1,0) =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5},0\Bigr).

Passo 3

Para obter o terceiro vetor ortonormal r_{3} de forma consistente com orientação positiva, usamos o produto vetorial:
r_{3}=r_{1}\times r_{2}.
Fazendo as contas com
r_{1}=\Bigl(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\Bigr), \quad r_{2}=\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5},0\Bigr),
temos
r_{3} =\begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\[6pt] \tfrac13 & \tfrac23 & \tfrac23\\[3pt] \tfrac{2}{\sqrt5} & -\tfrac{1}{\sqrt5} & 0 \end{vmatrix} =\Bigl(\tfrac{2}{3\sqrt5},\,\tfrac{4}{3\sqrt5},\,-\tfrac{5}{3\sqrt5}\Bigr).
Verifica-se que \|r_{3}\|=1 e r_{3} é ortogonal a r_{1} e r_{2}.]

Resposta

A matriz ortogonal procurada é
A = \begin{pmatrix} \frac13 & \frac23 & \frac23\\[6pt] \frac{2}{\sqrt5} & -\frac{1}{\sqrt5} & 0\\[6pt] \frac{2}{3\sqrt5} & \frac{4}{3\sqrt5} & -\frac{5}{3\sqrt5} \end{pmatrix},
cuja primeira linha é \bigl(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\bigr) e cujas linhas formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.]

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