Seja
um operador linear. Mostre que, se
, então
.
Passo 1
O enunciado apresenta um espaço vetorial
com produto interno e um operador linear
. Seu adjunto é
e sabemos que
Queremos mostrar que
é o operador zero, ou seja,
. Para isso vamos usar a definição de adjunto e a relação entre produto interno e norma.
Passo 2
Seja
arbitrário. Como
, temos
Pelo caráter do adjunto, vale para todo
Passo 3
Substituindo
na identidade acima, obtemos
Mas
, logo
Passo 4
Como
era arbitrário em
, concluímos que
para todo
. Portanto
é o operador nulo.