Seja T: V \rightarrow V um operador linear. Mostre que, se T^{*} \circ T=0_{L(V)}, então T=0_{L(V)}.

Passo 1

O enunciado apresenta um espaço vetorial V com produto interno e um operador linear T:V\to V. Seu adjunto é T^* e sabemos que
T^*\circ T = 0_{L(V)}.
Queremos mostrar que T é o operador zero, ou seja, T=0_{L(V)}. Para isso vamos usar a definição de adjunto e a relação entre produto interno e norma.

Passo 2

Seja v\in V arbitrário. Como T^*\circ T=0, temos
T^*(T(v)) = 0.
Pelo caráter do adjunto, vale para todo v
\langle T(v),\,T(v)\rangle \;=\;\langle T^*(T(v)),\,v\rangle.

Passo 3

Substituindo T^*(T(v))=0 na identidade acima, obtemos
\langle T(v),\,T(v)\rangle = \langle 0,\,v\rangle = 0.
Mas \langle T(v),T(v)\rangle = \|T(v)\|^2, logo
\|T(v)\|^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad T(v)=0.

Passo 4

Como v era arbitrário em V, concluímos que T(v)=0 para todo v. Portanto T é o operador nulo.

Resposta

T = 0_{L(V)}.

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