Questão 4

O polinômio característico do operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(2 x+2 y, 3 x+7 y-15 z, x+2 y-4 z) é igual a

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (2x + 2y,\;3x + 7y - 15z,\;x + 2y - 4z).
Para isso, vamos:
  1. Escrever a matriz A de T na base canônica.
  2. Formar A - \lambda I.
  3. Calcular \det(A - \lambda I) e simplificar.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ 3 & 7 & -15\\\\ 1 & 2 & -4 \end{pmatrix}.
Logo,
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 0\\\\ 3 & 7-\lambda & -15\\\\ 1 & 2 & -4-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}7-\lambda & -15\\\ 2 & -4-\lambda\end{pmatrix} - 2\det\!\begin{pmatrix}3 & -15\\\ 1 & -4-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}7-\lambda & -15\\\ 2 & -4-\lambda\end{pmatrix} = (7-\lambda)(-4-\lambda) - (-15)\cdot 2 = \bigl(\lambda^2 -3\lambda -28\bigr) + 30 = \lambda^2 -3\lambda +2,
\det\!\begin{pmatrix}3 & -15\\\ 1 & -4-\lambda\end{pmatrix} = 3(-4-\lambda) - (-15)\cdot 1 = -12 -3\lambda +15 = 3 -3\lambda.

Passo 5

Substituindo de volta:
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\bigl(\lambda^2 -3\lambda +2\bigr) - 2\bigl(3 -3\lambda\bigr).
Expandindo:
(2-\lambda)(\lambda^2 -3\lambda +2) = -\lambda^3 +5\lambda^2 -8\lambda +4,
-2(3 -3\lambda) = -6 +6\lambda.
Somando:
-\lambda^3 +5\lambda^2 -8\lambda +4 -6 +6\lambda = -\lambda^3 +5\lambda^2 -2\lambda -2.
Multiplicando por -1 (forma usual positiva):
\lambda^3 -5\lambda^2 +2\lambda +2.

Resposta

O polinômio característico é
\lambda^3 -5\lambda^2 +2\lambda +2.

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