Questão 1

Dadas as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\\\ -3 & -1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 5 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4\end{array}\right]
é correto afirmar que \operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) é igual a:

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & -2 \\\\ -3 & -1\end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix}3 & 1 & 5 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4\end{pmatrix}
e pede o valor de \det(A)+\det(B). Vamos usar a fórmula do determinante 2\times 2 para A e co-fatores (expansão por uma linha) para B.

Passo 2

Para A, que é 2\times 2, usamos
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Aqui a_{11}=2, a_{12}=-2, a_{21}=-3, a_{22}=-1. Logo
\det(A)=2\cdot(-1)-(-2)\cdot(-3)=-2-6=-8.

Passo 3

Para B, que é 3\times 3, escolhemos a segunda linha (pois tem zeros) e expandimos por co-fatores:
\det(B)=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{2+j}b_{2j}\det(M_{2j}),
onde b_{2j} são os elementos da segunda linha e M_{2j} os menores correspondentes. Só o termo j=2 contribui, pois b_{21}=0 e b_{23}=0.
Temos b_{22}=-2 e o menor M_{22} é
\begin{pmatrix}3 & 5\\\ 1 & 4\end{pmatrix},
cujo determinante vale 3\cdot4-5\cdot1=12-5=7. O co-fator é
(-1)^{2+2}\cdot7=+7,
então
\det(B)=-2\cdot7=-14.

Passo 4

Agora somamos os dois determinantes:
\det(A)+\det(B) = -8 + (-14) = -22.

Resposta

-22

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