Prove utilizando coordenada que o segmento de reta que une os pontos médios das laterais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.

Passo 1

Estamos provando, por geometria analítica, que em um trapézio o segmento que liga os pontos médios das laterais é paralelo às bases e tem comprimento igual à média aritmética dos comprimentos das bases.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que a base menor fique no segmento que liga D=(0,h) a C=(a,h) e a base maior fique no segmento que liga A=(0,0) a B=(b,0). Assim, AB=b e DC=a, e as laterais são AD e BC.

Passo 3

Calculamos os pontos médios. Para a lateral AD:
M=(0+02,0+h2)=(0,tfrach2)
Para a lateral BC:
N=(b+a2,0+h2)=l(tfracb+a2,tfrach2r)

Passo 4

Analisamos o vetor MN. Como
MN=l(tfracb+a2-0,tfrach2-tfrach2r)=l(tfracb+a2,0r),
vemos que ele é horizontal, portanto paralelo às bases (que também são horizontais).

Passo 5

Finalmente, o comprimento de MN é
|MN|=l|tfracb+a2r|=b+a2=AB+DC2
correspondendo à média aritmética dos comprimentos das bases.

Resposta

O segmento que une os pontos médios das laterais é paralelo às bases e seu comprimento é tfracAB+DC2, a média aritmética dos comprimentos das bases.

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