Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz P que diagonalize a matriz A . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes, autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores de A , encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor e, por fim, montar a matriz P com esses autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .
Observamos que lambda = 2 é um autovalor com multiplicidade 2.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Começaremos com lambda1 = 1 .
Resolvemos (A - lambda I)v = 0 :
A - I = -1 & 0 & -2 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2
Vamos montar o sistema de equações:
- v1 - 2 v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 v1 + 2 v3 = 0
Das duas primeiras equações, vemos que:
Da terceira equação: v1 = -2 v3
Substituindo na segunda equação:
-2 v3 + v2 + v3 = 0 Rightarrow v2 = v3
Podemos escolher v3 = 1 , então:
v1 = -2, v2 = 1, v3 = 1
Portanto, um autovetor para lambda1 = 1 é:
v1 = -2 1 1
Passo 8
Agora, vamos para lambda2 = 2 .
Resolvemos (A - 2I)v = 0 :
A - 2I = -2 & 0 & -2 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1
Montando o sistema:
-2 v1 - 2 v3 = 0 v1 + v3 = 0 v1 + v3 = 0
Da segunda equação: v1 = -v3
Substituindo na primeira equação:
-2 (-v3) - 2 v3 = 0 Rightarrow 2 v3 - 2 v3 = 0
Isso nos dá uma equação redundante, indicando que temos liberdade para escolher um valor para v3 . Vamos escolher v3 = 1 :
v1 = -1, v2 é livre é
Como a segunda coluna da matriz A - 2I é zero, v2 pode ser qualquer valor. Vamos escolher v2 = 1 :
v2 = 1
Portanto, um autovetor para lambda2 = 2 é:
v2 = -1 1 1
Passo 9
Finalmente, como lambda = 2 tem multiplicidade 2, precisamos encontrar outro autovetor linearmente independente para esse autovalor. No entanto, ao resolver (A - 2I)v = 0 , percebemos que não há outro autovetor independente além de v2 . Isso significa que a matriz A não é diagonalizável, pois não temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Resposta
Não é possível diagonalizar a matriz A porque ela não possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.