Encontre uma matriz P que diagonalize a matriz A=[ccc0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz P que diagonalize a matriz A . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes, autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores de A , encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor e, por fim, montar a matriz P com esses autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .

Passo 3

Calculando A - lambda I :
A - lambda I = 0 - lambda & 0 & -2 1 & 2 - lambda & 1 1 & 0 & 3 - lambda = -lambda & 0 & -2 1 & 2 - lambda & 1 1 & 0 & 3 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -lambda cdot det 2 - lambda & 1 0 & 3 - lambda - 0 + (-2) cdot det 1 & 2 - lambda 1 & 0
Calculando cada determinante menor:
det 2 - lambda & 1 0 & 3 - lambda = (2 - lambda)(3 - lambda) - (0)(1) = (2 - lambda)(3 - lambda)
det 1 & 2 - lambda 1 & 0 = (1)(0) - (1)(2 - lambda) = -(2 - lambda)

Passo 5

Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = -lambda (2 - lambda)(3 - lambda) - 2 (-(2 - lambda)) = -lambda (2 - lambda)(3 - lambda) + 2 (2 - lambda)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(- lambda (3 - lambda) + 2) = (2 - lambda)(-3lambda + lambda^2 + 2)
= (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2)
Fatorando o polinômio quadrático:
lambda^2 - 3lambda + 2 = (lambda - 1)(lambda - 2)
Portanto:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda - 1)(lambda - 2)

Passo 6

Para encontrar os autovalores, resolvemos:
(2 - lambda)(lambda - 1)(lambda - 2) = 0
Então, os autovalores são:
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 2
Observamos que lambda = 2 é um autovalor com multiplicidade 2.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Começaremos com lambda1 = 1 .
Resolvemos (A - lambda I)v = 0 :
A - I = -1 & 0 & -2 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2
Vamos montar o sistema de equações:
- v1 - 2 v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 v1 + 2 v3 = 0
Das duas primeiras equações, vemos que:
Da terceira equação: v1 = -2 v3
Substituindo na segunda equação:
-2 v3 + v2 + v3 = 0 Rightarrow v2 = v3
Podemos escolher v3 = 1 , então:
v1 = -2, v2 = 1, v3 = 1
Portanto, um autovetor para lambda1 = 1 é:
v1 = -2 1 1

Passo 8

Agora, vamos para lambda2 = 2 .
Resolvemos (A - 2I)v = 0 :
A - 2I = -2 & 0 & -2 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1
Montando o sistema:
-2 v1 - 2 v3 = 0 v1 + v3 = 0 v1 + v3 = 0
Da segunda equação: v1 = -v3
Substituindo na primeira equação:
-2 (-v3) - 2 v3 = 0 Rightarrow 2 v3 - 2 v3 = 0
Isso nos dá uma equação redundante, indicando que temos liberdade para escolher um valor para v3 . Vamos escolher v3 = 1 :
v1 = -1, v2 é livre é
Como a segunda coluna da matriz A - 2I é zero, v2 pode ser qualquer valor. Vamos escolher v2 = 1 :
v2 = 1
Portanto, um autovetor para lambda2 = 2 é:
v2 = -1 1 1

Passo 9

Finalmente, como lambda = 2 tem multiplicidade 2, precisamos encontrar outro autovetor linearmente independente para esse autovalor. No entanto, ao resolver (A - 2I)v = 0 , percebemos que não há outro autovetor independente além de v2 . Isso significa que a matriz A não é diagonalizável, pois não temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Resposta

Não é possível diagonalizar a matriz A porque ela não possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

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