Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T([l x1 x2 x3 ])=[l 2 x1-x2+x3 4 x1+3 x2+x3 ] [ccc 2 & -1 & 1 4 & 3 & 1 ]
Exiba a matriz canónica de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear T: R^3 R^2 definida por uma matriz específica. Nosso objetivo aqui é mostrar a matriz canônica dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como representá-la por uma matriz.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma transformação linear T pode ser representada por uma matriz onde cada coluna corresponde à imagem dos vetores da base canônica de R^3 . A base canônica de R^3 são os vetores:
e1 = 100, e2 = 010, e3 = 001

Passo 3

A matriz que representa T vai ter suas colunas sendo T(e1) , T(e2) e T(e3) . Vamos calcular cada uma dessas imagens usando a definição da transformação dada:
T( x1 x2 x3 ) = 2x1 - x2 + x3 4x1 + 3x2 + x3

Passo 4

Calculando T(e1) :
T(100) = 2(1) - 0 + 04(1) + 0 + 0 = 24

Passo 5

Calculando T(e2) :
T(010) = 2(0) - 1 + 04(0) + 3(1) + 0 = -13

Passo 6

Calculando T(e3) :
T(001) = 2(0) - 0 + 14(0) + 0 + 1 = 11

Passo 7

Agora, juntamos essas imagens como colunas na matriz canônica de T :
Matriz Canônica de T = 2 & -1 & 1 4 & 3 & 1 ô

Resposta

A matriz canônica de T é
2 & -1 & 1 4 & 3 & 1

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