Encontre a matriz P que multiplica (x, y, z) para dar (y, z, x). Encontre a matriz Q que multiplica (y, z, x) para retornar (x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede duas matrizes de permutação em R^3: uma, P, que aplicada ao vetor (x,y,z) leva para (y,z,x); e outra, Q, que aplicada a (y,z,x) devolve (x,y,z). Para isso, vamos usar que toda permutação de coordenadas corresponde a uma matriz que coloca “ 1” na posição onde cada coordenada de saída vem de uma coordenada de entrada, e “ 0” nos demais lugares.

Passo 2

Queremos
P,(x,y,z)^T = (y,z,x)^T
Isso significa:
– A primeira coordenada de saída é y, isto é, vem da segunda entrada, então P1,2=1.
– A segunda coordenada de saída é z, vem da terceira entrada, então P2,3=1.
– A terceira coordenada de saída é x, vem da primeira entrada, então P3,1=1.
Todas as outras entradas são zero. Logo,
P = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0

Passo 3

Agora queremos Q tal que
Q,(y,z,x)^T = (x,y,z)^T
Mas isso é exatamente a permutação inversa de P. Como toda matriz de permutação é ortogonal, temos Q = P^-1 = P^T. Transpondo P,
Q = P^T = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

Resposta

P = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0
\quad
Q = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

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