Qual matriz 3 times 3 E multiplica (x, y, z) para dar (x, y, z+x) ? Qual matriz E^-1 multiplica (x, y, z) para dar (x, y, z-x) ? Se você multiplicar (3,4,5) por E e depois multiplicar por E^-1, os dois resultados são ( ) e ( ).

Passo 1

O enunciado pede a matriz EinR^3times3 que implementa a transformação linear
(x,y,z)mapsto (x,y,z+x),
depois a sua inversa E^-1 que faz
(x,y,z)mapsto (x,y,z-x),
e por fim calcular E(3,4,5) e E^-1(3,4,5).

Passo 2

Para achar E, basta ver como ela age nos vetores canônicos e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1):
E( e1)=(1,0,1), E( e2)=(0,1,0), E( e3)=(0,0,1)
Assim,
E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1

Passo 3

Como E adiciona a primeira coordenada à terceira, sua inversa deve subtrair a primeira da terceira. Logo nos canônicos:
E^-1( e1)=(1,0,-1), E^-1( e2)=(0,1,0), E^-1( e3)=(0,0,1),
e
E^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1

Passo 4

Calculando E(3,4,5):
E345 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 345 =345+3 =348

Passo 5

Calculando E^-1(3,4,5):
E^-1345 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 345 =345-3 =342

Resposta

E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , E^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 ,
os resultados são (3,4,8) e (3,4,2).

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