Verifique quais dos subconjuntos do R^n abaixo são subespaços vetoriais:
F1=(x1, ldots, xn) ; x1=0 F2=(x1, ldots, xn) ; x1=1+x2

Passo 1

O enunciado define dois subconjuntos de R^n:
F1=(x1,dots,xn)mid x1=0, F2=(x1,dots,xn)mid x1=1+x2
Queremos verificar quais são subespaços vetoriais de R^n. Para isso usamos o critério padrão: um subconjunto WsubseteqR^n é subespaço se e só se
  1. 0in W,
  2. u,vin Wimplies u+vin W,
  3. uin W, alphainRimplies alpha uin W.

Passo 2

Verificação para F1.
  1. O vetor zero é 0=(0,0,dots,0). Aqui 01=0, logo 0in F1.
  2. Sejam u=(0,u2,dots,un) e v=(0,v2,dots,vn) em F1. Então
u+v=(0,u2+v2,dots,un+vn)
também satisfaz a condição de ter primeira componente zero, então u+vin F1.
3. Para alphainR,
alpha u=(alphacdot0,alpha u2,dots,alpha un)=(0,alpha u2,dots,alpha un),
cuja primeira componente é zero, logo alpha uin F1.
Portanto F1 satisfaz todos os requisitos e é subespaço vetorial de R^n.

Passo 3

Verificação para F2.
Teste de presença do vetor zero: 0=(0,0,dots,0) teria de satisfazer
0 = 1 + 0,
o que é falso. Assim 0notin F2 e F2 falha o primeiro requisito.
Logo F2 não é subespaço vetorial de R^n.

Resposta

Somente F1 é subespaço vetorial de R^n.

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