Encontre a matriz de passagem da base B=(-1,1),(1,1) subset R^2 para a base B^prime=(3,0),(-2,-1) subset R^2, e encontre a representação do vetor
v=-2 cdot(-1,1)+5 cdot(1,1)
na base B^prime.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de passagem de B=(-1,1),(1,1) para B'=(3,0),(-2,-1) em R^2 e, em seguida, a coordenada de
v = -2cdot(-1,1) + 5cdot(1,1)
na base B'. Vamos usar mudança de base e resolver sistemas lineares para expressar vetores de B em B', montar a matriz de passagem e aplicar essa matriz ao vetor de coordenadas de v em B.

Passo 2

Para achar as colunas da matriz de passagem, expressamos primeiro
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem (b = -1]. Substituindo na primeira:

Logo

Passo 3

Agora expressamos
resultando no sistema
Da segunda equação (d = -1]. Substituindo na primeira:

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Passo 4

A matriz de passagem PBtoB' tem essas coordenadas como colunas:
P = -1 & -tfrac13 -1 & -1

Passo 5

Observe que
v = -2cdot(-1,1) + 5cdot(1,1)
significa que as coordenadas de v na base B são
[v]B = -25

Passo 6

Para obter as coordenadas de v em B', calculamos
[v]B' = P,[v]B = -1 & -tfrac13 -1 & -1 -25 = 2 - tfrac53 2 - 5 = tfrac13 -3

Resposta

A matriz de passagem de B para B' é
PBtoB' = -1 & -tfrac13 -1 & -1
e a representação de v na base B' é
[v]B' = tfrac13-3

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