Verifique quais dos conjuntos abaixo geram o espaço R^3 e apresente os cálculos que justificam suas respostas
u=(-1,-1,1),(0,-2,1),(-2,-1,2),(-3,-4,4)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
u=(-1,-1,1),,(0,-2,1),,(-2,-1,2),,(-3,-4,4)
em R^3 e pede para verificar se o span de u é todo R^3. Vamos montar a matriz cujas linhas são esses vetores e usar eliminação de Gauss para achar o posto.

Passo 2

Formamos a matriz
A = -1 & -1 & 1 [6pt] 0 & -2 & 1 [6pt] -2 & -1 & 2 [6pt] -3 & -4 & 4
Primeiro, eliminamos as entradas de coluna 1 em R3 e R4 usando R1:
R3 R3 - 2R1, R4 R4 - 3R1,
resultando em
-1 & -1 & 1 [3pt] 0 & -2 & 1 [3pt] 0 & 1 & 0 [3pt] 0 & -1 & 1 ]

Passo 3

Trocar R2 e R3 para ter pivô 1 em coluna 2 e então zerar as outras entradas dessa coluna:
R2 rightarrow R3, R1 R1 + R2, R3 R3 + 2R2, R4 R4 + R2
fica
-1 & 0 & 1 [3pt] 0 & 1 & 0 [3pt] 0 & 0 & 1 [3pt] 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Há pivôs não nulos em três colunas distintas, logo
rank(A)=3
Como dim(R^3)=3, concluímos que o subespaço gerado por u tem dimensão 3, ou seja,
span(u)=R^3

Resposta

O conjunto u gera R^3.

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