Verifique quais dos conjuntos abaixo são linearmente independentes e apresente os cálculos que justificam as suas respostas.
u=(1,1,-2),(-1,1,1),(-2,1,1)
V=(-1,-1,1),(0,1,0),(-2,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos
u=(1,1,-2),,(-1,1,1),,(-2,1,1)
e
V=(-1,-1,1),,(0,1,0),,(-2,-1,2)
são linearmente independentes em R^3. Em R^3, um conjunto de três vetores é independente se, e somente se, o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas for diferente de zero.

Passo 2

Vamos ao conjunto u. Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de u:
A = 1 & -1 & -2 1 & 1 & 1 -2 & 1 & 1
Calculamos o determinante de A:
det(A) =1cdotl(1cdot1 - 1cdot1r) -(-1)cdotl(1cdot1 - (-2)cdot1r) +(-2)cdotl(1cdot1 - (-2)cdot1r) =0 + 3 - 6 = -3

Passo 3

Como det(A)=-3neq0, os vetores de u são linearmente independentes.

Passo 4

Agora o conjunto V. Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de V:
B = -1 & 0 & -2 -1 & 1 & -1 1 & 0 & 2
Calculamos o determinante de B:
det(B) =-1cdotl(1cdot2 - (-1)cdot0r) -0 +(-2)cdotl((-1)cdot0 - 1cdot1r) =-1cdot2 + 0 + (-2)cdot(-1) =-2 + 2 = 0

Passo 5

Como det(B)=0, os vetores de V são linearmente dependentes. Para ver isso explicitamente, note que
2,(-1,-1,1) + (0,1,0) = (-2,-2,2)+(0,1,0) = (-2,-1,2),
isto é, o terceiro vetor de V é combinação linear dos dois primeiros.

Resposta

O conjunto u é linearmente independente e o conjunto V é linearmente dependente.

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