Verifique que nem o conjunto das matrizes invertíveis (F1) e nem o das não invertíveis ( F2 ) formam um subespaço vetorial do espaço vetorial das matrizes de ordem 2 times 2, denotado por M(2 times 2), onde as operações de soma e multiplicação por um escalar em M(2 times 2) são definidas abaixo:
[ll a & b c & d ]+[ll e & f g & h ]=[ll a+e & b+f c+g & d+h ] ; alpha cdot[ll a & b c & d ]=[ll alpha cdot a & alpha cdot b alpha cdot c & alpha cdot d ]
Dica: Basta exibir exemplos que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
F1=matrizes invertíveis em M(2times2)í
e
F2=matrizes não invertíveis em M(2times2)ãí
não são subespaços de M(2times2).
Para isso basta verificar que alguma das propriedades de subespaço (fechamento sob soma ou sob multiplicação por escalar, ou conter o vetor zero) falha em cada caso, exibindo contraexemplos.

Passo 2

Verificando F1 quanto ao fechamento sob adição: escolhemos duas matrizes invertíveis
A = 1 & 0 0 & 1, B = -1 & 0 0 & -1
Ambas têm det(A)=1neq0 e det(B)=(-1)^2=1neq0, mas
A + B = 1 & 0 0 & 1 + -1 & 0 0 & -1 = 0 & 0 0 & 0,
cuja determinante é 0, ou seja, A+B não é invertível.
Como A,BinF1 mas A+BnotinF1, concluímos que F1 não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço de M(2times2).

Passo 3

Verificando F2 quanto ao fechamento sob adição: escolhemos duas matrizes não invertíveis
C = 1 & 0 0 & 0, D = 0 & 0 0 & 1
Ambas têm determinante zero, mas
C + D = 1 & 0 0 & 0 + 0 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1,
que é invertível.
Como C,DinF2 mas C+DnotinF2, concluímos que F2 não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço de M(2times2).

Resposta

Nem F1 nem F2 são subespaços vetoriais de M(2times2).

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