Verifique que nem o conjunto das matrizes invertíveis e nem o das não invertíveis ( ) formam um subespaço vetorial do espaço vetorial das matrizes de ordem , denotado por , onde as operações de soma e multiplicação por um escalar em são definidas abaixo:
Dica: Basta exibir exemplos que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
e
não são subespaços de .
Para isso basta verificar que alguma das propriedades de subespaço (fechamento sob soma ou sob multiplicação por escalar, ou conter o vetor zero) falha em cada caso, exibindo contraexemplos.
Passo 2
Verificando quanto ao fechamento sob adição: escolhemos duas matrizes invertíveis
cuja determinante é 0, ou seja, A+B não é invertível.
Como A,BinF1 mas A+BnotinF1, concluímos que F1 não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço de M(2times2).
Passo 3
Verificando F2 quanto ao fechamento sob adição: escolhemos duas matrizes não invertíveis
C = 1 & 0 0 & 0, D = 0 & 0 0 & 1
Ambas têm determinante zero, mas
C + D = 1 & 0 0 & 0 + 0 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1,
que é invertível.
Como C,DinF2 mas C+DnotinF2, concluímos que F2 não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço de M(2times2).
Resposta
Nem F1 nem F2 são subespaços vetoriais de M(2times2).