Sabendo que os conjuntos
& V=v1=(1,1,1), v2=(-1,1,1), v3=(-1,-1,1) & u=u1=(2,0,1), u2=(-1,1,-2), u3=(3,-1,1)
são bases do espaço R^3, encontre a matriz de passagem da base V para a base U. E a matriz de passagem da base U para a base V quem seria?

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3,
V=v1,v2,v3 com
v1=(1,1,1), v2=(-1,1,1), v3=(-1,-1,1)
e
U=u1,u2,u3 com
u1=(2,0,1), u2=(-1,1,-2), u3=(3,-1,1)
Queremos a matriz de passagem
P Vto U tal que, para todo xin R^3,
[x] U = P Vto U,[x] V,
e também P Uto V=(P Vto U)^-1.

Passo 2

Seja M U a matriz cujas colunas são as coordenadas de u1,u2,u3 na base canônica e M V a matriz cujas colunas são as coordenadas de v1,v2,v3. Então
P Vto U = M U^-1,M V
Em seguida,
P Uto V = l(P Vto Ur)^-1

Passo 3

Construímos
M U = 2 & -1 & 3 0 & 1 & -1 1 & -2 & 1 , M V = 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & 1 & 1

Passo 4

Calculamos M U^-1. O determinante é -4 e, por adjunta,
M U^-1 =1-4 -1 & -5 & -2 -1 & -1 & 2 -1 & 3 & 2 ^T = tfrac14 & tfrac54 & tfrac12 tfrac14 & tfrac14 & -tfrac12 tfrac14 & -tfrac34 & -tfrac12

Passo 5

Multiplicando
P Vto U =M U^-1,M V = 2 & tfrac32 & -1 0 & -tfrac12 & -1 -1 & -tfrac32 & 0

Passo 6

Invertendo P Vto U (ou aplicando o mesmo processo trocando U por V) obtemos
P Uto V = l(P Vto Ur)^-1 = tfrac32 & -tfrac32 & 2 -1 & 1 & -2 tfrac12 & -tfrac32 & 1

Resposta

P Vto U = 2 & tfrac32 & -1 0 & -tfrac12 & -1 -1 & -tfrac32 & 0 , P Uto V = tfrac32 & -tfrac32 & 2 -1 & 1 & -2 tfrac12 & -tfrac32 & 1

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