Encontre a matriz (em relação às bases canônicas) da transformação linear dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a matriz que representa uma transformação linear dada por . Vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como representá-las com matrizes usando as bases canônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Nesse caso, estamos indo de um espaço de 3 dimensões () para um de 2 dimensões (), então nossa matriz vai ter 2 linhas e 3 colunas, ou seja, será uma matriz .
Passo 3
A base canônica de é formada pelos vetores , e . Para encontrar a matriz da transformação, vamos ver onde cada um desses vetores é mapeado por .
Passo 4
Vamos aplicar em cada vetor da base:
Passo 5
Agora, esses resultados vão formar as colunas da matriz da transformação. Cada coluna corresponde à imagem dos vetores da base canônica.
Passo 6
Assim, organizando os vetores resultantes como colunas, a matriz que representa é:
Resposta
A matriz da transformação linear T em relação às bases canônicas é: