Encontre a matriz (em relação às bases canônicas) da transformação linear T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(3 x-z, 2 y+5 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a matriz que representa uma transformação linear T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z) = (3x - z, 2y + 5z) . Vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como representá-las com matrizes usando as bases canônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Nesse caso, estamos indo de um espaço de 3 dimensões ( R^3 ) para um de 2 dimensões ( R^2 ), então nossa matriz vai ter 2 linhas e 3 colunas, ou seja, será uma matriz 2 times 3 .

Passo 3

A base canônica de R^3 é formada pelos vetores e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) . Para encontrar a matriz da transformação, vamos ver onde cada um desses vetores é mapeado por T .

Passo 4

Vamos aplicar T em cada vetor da base:
  • T(e1) = T(1, 0, 0) = (3 cdot 1 - 0, 2 cdot 0 + 5 cdot 0) = (3, 0)
  • T(e2) = T(0, 1, 0) = (3 cdot 0 - 0, 2 cdot 1 + 5 cdot 0) = (0, 2)
  • T(e3) = T(0, 0, 1) = (3 cdot 0 - 1, 2 cdot 0 + 5 cdot 1) = (-1, 5)

Passo 5

Agora, esses resultados vão formar as colunas da matriz da transformação. Cada coluna corresponde à imagem dos vetores da base canônica.

Passo 6

Assim, organizando os vetores resultantes como colunas, a matriz A que representa T é:
A = 3 & 0 & -1 0 & 2 & 5

Resposta

A matriz da transformação linear T em relação às bases canônicas é:
3 & 0 & -1 0 & 2 & 5

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