Encontre a matriz, relativa à base canônica de R^2, da transformação linear T: R^2 R^2 que rotaciona cada vetor em um ângulo theta.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de uma rotação de ângulo theta em R^2 na base canônica. Para isso, basta ver como T age sobre os vetores da base canônica e1=(1,0) e e2=(0,1), e então colocar essas imagens como colunas da matriz de T.

Passo 2

Aplicamos a rotação em e1=(1,0). Rotacionar (1,0) por theta manda esse vetor para o ponto de coordenadas (costheta,;sintheta). Assim,
T(e1) = (costheta,;sintheta)

Passo 3

Agora aplicamos a rotação em e2=(0,1). Rotacionar (0,1) por theta leva-o a (-sintheta,;costheta). Logo,
T(e2) = (-sintheta,;costheta)

Passo 4

A matriz de T na base canônica tem como primeira coluna T(e1) e como segunda coluna T(e2). Portanto,
[T]Bcan = costheta & -sintheta sintheta & costheta

Resposta

costheta & -sintheta sintheta & costheta

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