O produto vetorial de dois vetores e em é, por definição, o vetor
Fixado o vetor , determine a matriz, relativamente à base canônica, do operador definido por . Descreva geometricamente o núcleo desse operador e obtenha a equação de sua imagem.
Passo 1
O enunciado define o operador
onde é fixo, e pede a matriz de na base canônica, além de caracterizar geometricamente e dar a equação de . Vamos usar a definição do produto vetorial em coordenadas para encontrar as colunas da matriz e depois interpretar geometricamente as condições e .
Passo 2
Para obter a matriz de na base canônica, calculamos para .
— Para :
— Para :
— Para :
Logo, a matriz de na base canônica, cujas colunas são , é
Passo 3
O núcleo de T é
ker T=vinR^3: vtimes u=0
Sabemos que vtimes u=0 exatamente quando v e u são paralelos. Portanto
ker T=,lambda,u:lambdainR=spanu
Passo 4
A imagem de T é
ImT=vtimes u:vinR^3
Por propriedades do produto vetorial, todo vtimes u é perpendicular a u. Logo
ImT=winR^3: wcdot u=0,
ou seja, o plano ortogonal a u, cuja equação cartesiana é