O produto vetorial de dois vetores v=(x, y, z) e w=(x^prime, y^prime, z^prime) em R^3 é, por definição, o vetor
v times w=(y z^prime-z y^prime, z x^prime-x z^prime, x y^prime-y x^prime)
Fixado o vetor u=(a, b, c), determine a matriz, relativamente à base canônica, do operador T: R^3 R^3 definido por T(v)=v times u. Descreva geometricamente o núcleo desse operador e obtenha a equação de sua imagem.

Passo 1

O enunciado define o operador
T:R^3toR^3, T(v)=vtimes u,
onde u=(a,b,c) é fixo, e pede a matriz de T na base canônica, além de caracterizar geometricamente ker T e dar a equação de ImT. Vamos usar a definição do produto vetorial em coordenadas para encontrar as colunas da matriz e depois interpretar geometricamente as condições vtimes u=0 e winImT.

Passo 2

Para obter a matriz de T na base canônica, calculamos T(ei)=eitimes u para i=1,2,3.
— Para e1=(1,0,0):
T(e1)=e1times u =(1,0,0)times(a,b,c) =(0cdot c-0cdot b,;0cdot a-1cdot c,;1cdot b-0cdot a) =(0,-c,b)
— Para e2=(0,1,0):
T(e2)=(0,1,0)times(a,b,c) =(1cdot c-0cdot b,;0cdot a-0cdot c,;0cdot b-1cdot a) =(c,0,-a)
— Para e3=(0,0,1):
T(e3)=(0,0,1)times(a,b,c) =(0cdot c-1cdot b,;1cdot a-0cdot c,;0cdot b-0cdot a) =(-b,a,0)
Logo, a matriz de T na base canônica, cujas colunas são T(e1),T(e2),T(e3), é
M= 0 & c & -b -c & 0 & a b & -a & 0

Passo 3

O núcleo de T é
ker T=vinR^3: vtimes u=0
Sabemos que vtimes u=0 exatamente quando v e u são paralelos. Portanto
ker T=,lambda,u:lambdainR=spanu

Passo 4

A imagem de T é
ImT=vtimes u:vinR^3
Por propriedades do produto vetorial, todo vtimes u é perpendicular a u. Logo
ImT=winR^3: wcdot u=0,
ou seja, o plano ortogonal a u, cuja equação cartesiana é
a,x+b,y+c,z=0

Resposta

Matriz de T:
0 & c & -b -c & 0 & a b & -a & 0
ker T=span(a,b,c)
ImT=(x,y,z):a,x+b,y+c,z=0

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