Scja A=[ccc2 & -1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & -1 & 2]
Encontre uma matriz P ortogonal (P^-1=P^T) e uma matriz D diagonal tal que A P=P D.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz simétrica
A= 2 & -1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & -1 & 2
Isto é, encontrar uma matriz ortogonal P e uma diagonal D tais que
A,P = P,D,
onde P^-1=P^T. Vamos usar que para matrizes simétricas os autovetores são ortonormais e que os autovalores são reais.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
p(lambda)=det(A-lambda I) =det 2-lambda & -1 & 1 -1 & 2-lambda & -1 1 & -1 & 2-lambda =lambda^3-6lambda^2+9lambda-4
Fatorando p(lambda), vemos que lambda=1 é raiz dupla e lambda=4 é raiz simples. Logo os autovalores são
lambda1=lambda2=1, lambda3=4

Passo 3

Encontrar um autovetor para lambda=4. Resolvendo (A-4I)v=0 obtemos a condição
-2x - y + z =0,; -x -2y - z=0,; x - y -2z=0,
cuja solução é proporcional a (1,-1,1). Normalizando, um autovetor unitário é
e3 = 1raiz3,(1,-1,1)^T

Passo 4

Autovetores para lambda=1 satisfazem (A-I)v=0, que dá x - y + z=0. Este é um subespaço de dimensão 2, ortogonal a e3. Para obter uma base ortonormal, escolhemos dois vetores:
1. v1=(1,0,-1), que normalizado dá
e1 = 1raiz2,(1,0,-1)^T
2. Tomamos u=(0,1,1) e aplicamos Gram–Schmidt em relação a e1. Concluímos que um vetor ortogonal a e1 e a e3 é proporcional a (1,2,1). Normalizando,
e2 = 1raiz6,(1,2,1)^T

Passo 5

Formamos P cujas colunas são e1,e2,e3 e D com os autovalores na mesma ordem:
P= 1raiz2 & 1raiz6 & 1raiz3[6pt] 0 & 2raiz6 & -1raiz3[6pt] -1raiz2 & 1raiz6 & 1raiz3 , D= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4
Verifica-se que P^T P=I e A,P=P,D.]

Resposta

P= tfrac1raiz2 & tfrac1raiz6 & tfrac1raiz3[6pt] 0 & tfrac2raiz6 & -tfrac1raiz3[6pt] -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz6 & tfrac1raiz3 , D= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4 ]

Exercícios relacionados