Seja W o subespaço coluna de A=[cccc2 & 4 & -2 & -2 -2 & -5 & 7 & 3 3 & 7 & -8 & -4 2 & 3 & 3 & -1].
Mostre que o vetor v=(2,6,4,-2) pertence ao complemento ortogonal de W. (Dica: v é ortogonal a todos os vetores colunas de A ?)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & 4 & -2 & -2 -2 & -5 & 7 & 3 3 & 7 & -8 & -4 2 & 3 & 3 & -1
e define W como o subespaço coluna de A. Queremos mostrar que o vetor
v = (2,6,4,-2) pertence ao complemento ortogonal W^perp.
Para isso usamos o produto interno canônico: vin W^perp se e somente se v é ortogonal a cada coluna de A.

Passo 2

Chamemos as colunas de A por
a1 = 2-232,
a2 = 4-573,
a3 = -27-83,
a4 = -23-4-1
Para verificar vperp ai, basta calcular o produto interno vcdot ai e checar que é zero para i=1,2,3,4.

Passo 3

Calculamos cada produto interno em bloco:
vcdot a1 =2cdot2 +6cdot(-2)+4cdot3+(-2)cdot2 =4-12+12-4=0,
vcdot a2 =2cdot4 +6cdot(-5)+4cdot7+(-2)cdot3 =8-30+28-6=0,
vcdot a3 =2cdot(-2)+6cdot7+4cdot(-8)+(-2)cdot3 =-4+42-32-6=0,
vcdot a4 =2cdot(-2)+6cdot3+4cdot(-4)+(-2)cdot(-1) =-4+18-16+2=0

Passo 4

Como vcdot ai=0 para todas as colunas ai de A, concluímos que v é ortogonal a todo vetor em W. Logo vin W^perp.

Resposta

O vetor v=(2,6,4,-2) pertence ao complemento ortogonal W^perp de W.

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