Seja o espaço gerado pelos vetores e .
Escreva o vetor como a soma de um vetor em e um vetor ortogonal a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente pegar o vetor e escrever ele como a soma de dois vetores: um que está no espaço gerado pelos vetores , e , e outro que é ortogonal a esse espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre projeções de vetores em subespaços e como encontrar componentes ortogonais usando produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o vetor que está em de e o vetor ortogonal a de . Então, temos:
Como está em , podemos escrevê-lo como combinação linear dos vetores :
onde são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Para garantir que seja ortogonal a , ela precisa ser ortogonal a cada um dos vetores que geram . Ou seja:
Como , podemos substituir e obter:
Passo 4
Substituindo na expressão, temos:
Simplificando, ficamos com:
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas .
Passo 5
Vamos calcular os produtos escalares necessários:
Primeiro, calculando :
Passo 6
Agora, calculando os produtos escalares entre os :
Passo 7
Com esses valores, montamos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b, c .
Passo 8
Vamos simplificar o sistema dividindo a primeira equação por 10:
O vetor v = (2, -2, 6, -6) pode ser escrito como a soma de u = (1, 1, 3, -7) , que está em W , e vperp = (1, -3, 3, 1) , que é ortogonal a W . Portanto: