Seja W o espaço gerado pelos vetores w1=(3,1,-1,3), w2=(-5,1,5,-7) e w3=(1,1,-2,8).
Escreva o vetor v=(2,-2,6,-6) como a soma de um vetor em W e um vetor ortogonal a W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente pegar o vetor v = (2, -2, 6, -6) e escrever ele como a soma de dois vetores: um que está no espaço W gerado pelos vetores w1 = (3, 1, -1, 3) , w2 = (-5, 1, 5, -7) e w3 = (1, 1, -2, 8) , e outro que é ortogonal a esse espaço W . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre projeções de vetores em subespaços e como encontrar componentes ortogonais usando produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor que está em W de u e o vetor ortogonal a W de vperp . Então, temos:
v = u + vperp
Como u está em W , podemos escrevê-lo como combinação linear dos vetores w1, w2, w3 :
u = aw1 + bw2 + cw3
onde a, b, c são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Para garantir que vperp seja ortogonal a W , ela precisa ser ortogonal a cada um dos vetores que geram W . Ou seja:
vperp cdot w1 = 0
vperp cdot w2 = 0
vperp cdot w3 = 0
Como vperp = v - u , podemos substituir e obter:
(v - u) cdot wi = 0 para i = 1, 2, 3

Passo 4

Substituindo u na expressão, temos:
v cdot wi - (aw1 + bw2 + cw3) cdot wi = 0
Simplificando, ficamos com:
v cdot wi = a(w1 cdot wi) + b(w2 cdot wi) + c(w3 cdot wi)
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas a, b, c .

Passo 5

Vamos calcular os produtos escalares necessários:
Primeiro, calculando v cdot wi :
v cdot w1 = 2 times 3 + (-2) times 1 + 6 times (-1) + (-6) times 3 = 6 - 2 - 6 - 18 = -20
v cdot w2 = 2 times (-5) + (-2) times 1 + 6 times 5 + (-6) times (-7) = -10 - 2 + 30 + 42 = 60
v cdot w3 = 2 times 1 + (-2) times 1 + 6 times (-2) + (-6) times 8 = 2 - 2 - 12 - 48 = -60

Passo 6

Agora, calculando os produtos escalares entre os wi :
w1 cdot w1 = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 + 3^2 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20
w1 cdot w2 = 3 times (-5) + 1 times 1 + (-1) times 5 + 3 times (-7) = -15 + 1 -5 -21 = -40
w1 cdot w3 = 3 times 1 + 1 times 1 + (-1) times (-2) + 3 times 8 = 3 + 1 + 2 + 24 = 30
w2 cdot w2 = (-5)^2 + 1^2 + 5^2 + (-7)^2 = 25 + 1 + 25 + 49 = 100
w2 cdot w3 = (-5) times 1 + 1 times 1 + 5 times (-2) + (-7) times 8 = -5 + 1 -10 -56 = -70
w3 cdot w3 = 1^2 + 1^2 + (-2)^2 + 8^2 = 1 + 1 + 4 + 64 = 70

Passo 7

Com esses valores, montamos o sistema de equações:
20a - 40b + 30c = -20 -40a + 100b - 70c = 60 30a - 70b + 70c = -60
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b, c .

Passo 8

Vamos simplificar o sistema dividindo a primeira equação por 10:
2a - 4b + 3c = -2 -40a + 100b - 70c = 60 30a - 70b + 70c = -60
Agora, podemos usar o método da eliminação. Vou multiplicar a primeira equação por 20 para eliminar a na segunda equação:
2a - 4b + 3c = -2 times 20 Rightarrow 40a - 80b + 60c = -40
Agora, somamos com a segunda equação:
(40a - 80b + 60c) + (-40a + 100b - 70c) = -40 + 60
20b - 10c = 20 Rightarrow 2b - c = 2 (Equação 4) çã

Passo 9

Agora, vamos eliminar a entre a primeira e a terceira equação. Multiplicando a primeira equação por 15:
2a - 4b + 3c = -2 times 15 Rightarrow 30a - 60b + 45c = -30
Subtraindo com a terceira equação:
(30a - 60b + 45c) - (30a - 70b + 70c) = -30 - (-60)
10b - 25c = 30 Rightarrow 2b - 5c = 6 (Equação 5) çã

Passo 10

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
2b - c = 2 (Equação 4) 2b - 5c = 6 (Equação 5) çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5:
(2b - 5c) - (2b - c) = 6 - 2
-4c = 4 Rightarrow c = -1

Passo 11

Agora que temos c = -1 , substituímos na Equação 4 para encontrar b :
2b - (-1) = 2 Rightarrow 2b + 1 = 2 Rightarrow 2b = 1 Rightarrow b = 12

Passo 12

Com b = 12 e c = -1 , substituímos na primeira equação para encontrar a :
2a - 4(12) + 3(-1) = -2
2a - 2 - 3 = -2 Rightarrow 2a - 5 = -2 Rightarrow 2a = 3 Rightarrow a = 32

Passo 13

Agora que temos a = 32 , b = 12 e c = -1 , podemos construir o vetor u :
u = 32w1 + 12w2 - w3
Vamos calcular cada componente:
32w1 = 32(3, 1, -1, 3) = (92, 32, -32, 92)
12w2 = 12(-5, 1, 5, -7) = (-52, 12, 52, -72)
- w3 = -(1, 1, -2, 8) = (-1, -1, 2, -8)
Somando tudo:
u = (92 - 52 -1, 32 + 12 -1, -32 + 52 + 2, 92 - 72 -8)
u = (42 -1, 42 -1, 22 + 2, 22 -8) = (2 -1, 2 -1, 1 + 2, 1 -8)
u = (1, 1, 3, -7)

Passo 14

Finalmente, encontramos o vetor ortogonal vperp subtraindo u de v :
vperp = v - u = (2, -2, 6, -6) - (1, 1, 3, -7) = (2-1, -2-1, 6-3, -6-(-7)) = (1, -3, 3, 1)

Resposta

O vetor v = (2, -2, 6, -6) pode ser escrito como a soma de u = (1, 1, 3, -7) , que está em W , e vperp = (1, -3, 3, 1) , que é ortogonal a W . Portanto:
v = u + vperp = (1, 1, 3, -7) + (1, -3, 3, 1)

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