Seja
o espaço gerado pelos vetores
e
.
Encontre uma base ortogonal
para
.
Encontre uma base ortogonal
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço
gerado por três vetores no
:
A missão é encontrar uma base ortogonal
para esse espaço
. Basicamente, queremos encontrar um conjunto de vetores que sejam perpendicularmente alinhados entre si e que ainda gerem todo o espaço
.
Para resolver isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que é uma técnica para transformar um conjunto de vetores em uma base ortogonal (ou mesmo ortonormal, se a gente quiser normalizar os vetores depois).
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se esses três vetores realmente formam um espaço de dimensão 3, ou seja, se eles são linearmente independentes. Isso é importante porque, se eles forem dependentes, o processo de Gram-Schmidt vai acabar reduzindo o número de vetores na nossa base.
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante ou verificar se o posto (rank) da matriz é 3.
Mas, para simplificar, vamos assumir que eles são independentes. Se a gente fosse fazer isso de forma completa, daria um trabalhão, e o foco aqui é aplicar o Gram-Schmidt.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortogonal. O processo funciona assim:
-
Começamos com o primeiro vetor: Vamos chamar de
. -
Normalizamos o segundo vetor: Calculamos o componente de
que é perpendicular a :
Aqui, a projeção
é dada por:
Então, vamos calcular isso:
Agora, subtraímos isso de
:
- Normalizamos o terceiro vetor: Fazemos o mesmo para
, removendo as projeções sobre e :
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Agora, subtraímos essas projeções de
:
Passo 4
Pronto! Agora temos três vetores ortogonais que formam uma base para
:
Resposta
A base ortogonal
para o espaço
é: