Seja W o subespaço coluna de A=[cccc2 & 4 & -2 & -2 -2 & -5 & 7 & 3 3 & 7 & -8 & -4 2 & 3 & 3 & -1].
Encontre o complemento ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado define W como o subespaço gerado pelas colunas de
A = 2 & 4 & -2 & -2 -2 & -5 & 7 & 3 3 & 7 & -8 & -4 2 & 3 & 3 & -1
e pede o complemento ortogonal de W. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra Linear, o complemento ortogonal de Col(A) é o núcleo de A^T. Logo, precisamos resolver
A^T x = 0

Passo 2

Escrevemos o sistema A^T x=0. Como
A^T = 2 & -2 & 3 & 2 4 & -5 & 7 & 3 -2 & 7 & -8 & 3 -2 & 3 & -4 & -1 ,
temos o sistema
2x1 - 2x2 + 3x3 + 2x4 = 0, 4x1 - 5x2 + 7x3 + 3x4 = 0, -2x1 +7x2 -8x3 +3x4 = 0, -2x1 +3x2 -4x3 - x4 = 0

Passo 3

Fazemos a eliminação de Gauss no sistema. Numérico rápido:
2 & -2 & 3 & 2 4 & -5 & 7 & 3 -2 & 7 & -8 & 3 -2 & 3 & -4 & -1 longrightarrow 2 & -2 & 3 & 2 0 & -1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Da segunda linha tiramos -x2 + x3 - x4 =0, ou
x3 = x2 + x4
Da primeira linha obtemos
2x1 -2x2 +3x3 +2x4=0 Longrightarrow 2x1 + x2 +5x4=0 Longrightarrow x1 = -tfrac12,x2 - tfrac52,x4

Passo 4

Tomamos x2 = s e x4 = t como parâmetros livres. Então
x1 = -tfrac12 s - tfrac52 t, x2 = s, x3 = s + t, x4 = t
Para evitar frações, multiplicamos a solução genérica por 2 e escrevemos
(2x1,2x2,2x3,2x4) = s(-1,2,2,0) ;+; t(-5,0,2,2)
Isto mostra que o núcleo de A^T é gerado pelos vetores (-1,2,2,0) e (-5,0,2,2).

Resposta

Uma base para o complemento ortogonal de W é
,(-1,2,2,0),;(-5,0,2,2)

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