Seja
o subespaço coluna de
.
Encontre o complemento ortogonal de
W .
Encontre o complemento ortogonal de
Passo 1
O enunciado define
W como o subespaço gerado pelas colunas de
e pede o complemento ortogonal de
W . Pelo Teorema Fundamental da Álgebra Linear, o complemento ortogonal de
Col(A) é o núcleo de
A^T . Logo, precisamos resolver
Passo 2
Escrevemos o sistema
A^T x=0 . Como
temos o sistema
Passo 3
Fazemos a eliminação de Gauss no sistema. Numérico rápido:
Da segunda linha tiramos
-x2 + x3 - x4 =0 , ou
Da primeira linha obtemos
Passo 4
Tomamos
x2 = s e
x4 = t como parâmetros livres. Então
Para evitar frações, multiplicamos a solução genérica por 2 e escrevemos
Isto mostra que o núcleo de
A^T é gerado pelos vetores
(-1,2,2,0) e
(-5,0,2,2) .
Resposta
Uma base para o complemento ortogonal de
W é