Encontre uma matriz B tal que B^2=A, se A=(ll3 & 1 2 & 2).

Passo 1

O enunciado pede uma matriz B tal que
B^2=A,
onde
A=3 & 1 2 & 2
O conteúdo aqui é a definição de função de matriz via diagonalização: se A=PDP^-1 com D diagonal, então qualquer raiz quadrada de A pode ser escrita como
B = P,raizD,P^-1,
onde raizD é obtida aplicando raiz a cada autovalor.

Passo 2

Vamos achar os autovalores de A. A equação característica é
det(A - lambda I) =det3-lambda & 1 2 & 2-lambda =(3-lambda)(2-lambda)-2cdot1 =lambda^2-5lambda+4=0
Resolvendo
lambda^2-5lambda+4=0 Longrightarrow lambda1=4, lambda2=1

Passo 3

Agora os autovetores.
Para , resolvemos :
logo podemos tomar .
Para , resolvemos :
podendo escolher .
Formamos
cujo determinante é . Portanto

Passo 4

Aplicando a fórmula da raiz quadrada de A, usamos
raizD =raiz4 & 0 0 & raiz1 =2 & 0 0 & 1
Então
B = P,raizD,P^-1 =1 & 1 1 & -2 2 & 0 0 & 1 2/3 & 1/3 1/3 & -1/3
Calculando o produto em duas etapas, obtemos
P,raizD =2 & 1 2 & -2,
e então
B =2 & 1 2 & -2 2/3 & 1/3 1/3 & -1/3 =5/3 & 1/3 2/3 & 4/3

Resposta

B = 53 & 13[6pt]23 & 43,
pois verifica-se diretamente que B^2=A.]

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