Mostre que as matrizes
e
, são semelhantes se e somente se existem bases
de
e um endomorfismo
tal que
Passo 1
Vamos recapitular o enunciado: queremos provar que duas matrizes
são semelhantes (isto é, existe invertível
tal que
) se e só se elas representam o mesmo endomorfismo
em duas bases
e
, ou seja
O conteúdo que vamos usar é a definição de similaridade de matrizes e a fórmula de mudança de base de uma transformação linear.
Passo 2
(
) Suponha que
e
são semelhantes, isto é, existe invertível
com
Defina a base canônica
e o endomorfismo
de tal forma que
ou seja,
. Agora construa a nova base
Como
é invertível,
é de fato uma base. Pela fórmula de mudança de base, a matriz de
na base
é
Logo encontramos
com
e
.
Passo 3
(
) Agora suponha que exista um endomorfismo
e duas bases
e
tais que
Seja
a matriz de mudança de base de
para
, isto é, colunas de
são as coordenadas de cada vetor de
em relação a
. Sabemos da teoria que
logo
Como
é invertível, obtemos que
e
são semelhantes.
Resposta
Prova completa: mostramos as duas implicações, portanto
e
são semelhantes se e somente se existem bases
de
e um endomorfismo
tais que