Mostre que as matrizes X e Y, n times n, são semelhantes se e somente se existem bases B, C de R^n e um endomorfismo T: R^n R^n tal que
X=[T]B^B e Y=[T]C^C

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: queremos provar que duas matrizes ,X,YinR^ntimes n são semelhantes (isto é, existe invertível S tal que ,Y=S,X,S^-1) se e só se elas representam o mesmo endomorfismo T:R^ntoR^n em duas bases B e C, ou seja
X=[T]B^B e Y=[T]C^C
O conteúdo que vamos usar é a definição de similaridade de matrizes e a fórmula de mudança de base de uma transformação linear.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha que X e Y são semelhantes, isto é, existe invertível ,SinR^ntimes n com
Y ;=; S,X,S^-1
Defina a base canônica B=(e1,dots,en) e o endomorfismo T de tal forma que
T(ej) ;=;sumi=1^n Xij,ei,
ou seja, [T]B^B=X. Agora construa a nova base
C=(c1,dots,cn), cj := S(ej)
Como S é invertível, C é de fato uma base. Pela fórmula de mudança de base, a matriz de T na base C é
[T]C^C ;=; S,[T]B^B,S^-1 ;=; S,X,S^-1 ;=; Y
Logo encontramos B,C,T com X=[T]B^B e Y=[T]C^C.

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que exista um endomorfismo T:R^ntoR^n e duas bases B e C tais que
X=[T]B^B e Y=[T]C^C
Seja P a matriz de mudança de base de C para B, isto é, colunas de P são as coordenadas de cada vetor de C em relação a B. Sabemos da teoria que
[T]C^C ;=; P^-1,[T]B^B,P,
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Y ;=; P^-1,X,P
Como P é invertível, obtemos que X e Y são semelhantes.

Resposta

Prova completa: mostramos as duas implicações, portanto X e Y são semelhantes se e somente se existem bases B,C de R^n e um endomorfismo T tais que
X=[T]B^B e Y=[T]C^C

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