Use as últimas questões para concluir que a matriz
A=(cccc 2 & -2 & 1 & 3 0 & 3 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 6 )
é diagonalizável, sem fazer cálculos.

Passo 1

O enunciado pede para concluir que a matriz
A = 2 & -2 & 1 & 3 [6pt] 0 & 3 & -2 & 0 [6pt] 0 & 0 & 1 & 1 [6pt] 0 & 0 & 0 & 6
é diagonalizável, sem fazer cálculos de autovetores ou similar. O conteúdo envolvido é a teoria de diagonalização de matrizes, em particular o critério de autovalores distintos.

Passo 2

Observamos que A é uma matriz triangular (superior). Pelo fato geral de que, em qualquer matriz triangular, os autovalores coincidem com as entradas da diagonal principal, temos
espectro(A)=2,,3,,1,,6

Passo 3

Note que os quatro autovalores listados são todos distintos entre si. Ou seja, não há repetição em 2,3,1,6.

Passo 4

Pelo teorema que afirma que “uma matriz de ordem n com n autovalores distintos (em C ou R) é diagonalizável”, concluímos que A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável, pois possui quatro autovalores distintos.

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