Seja T: R^3 R^2 linear, com T(1,0,0)=(2,1), T(0,1,0)=(-1,3), T(0,0,1)=(0,4). Encontre T(3,-2,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^2 que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. Nos dão que:
  • T(1,0,0) = (2,1)
  • T(0,1,0) = (-1,3)
  • T(0,0,1) = (0,4)
A gente precisa encontrar T(3,-2,5) . Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e como elas agem nos vetores.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear é aquela que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que podemos escrever qualquer vetor v = (a,b,c) como uma combinação linear das imagens das bases canônicas.
Então, podemos expressar T(a,b,c) como:
T(a,b,c) = a cdot T(1,0,0) + b cdot T(0,1,0) + c cdot T(0,0,1)

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos:
T(3,-2,5) = 3 cdot T(1,0,0) + (-2) cdot T(0,1,0) + 5 cdot T(0,0,1)

Passo 4

Substituindo pelas imagens dadas:
T(3,-2,5) = 3 cdot (2,1) + (-2) cdot (-1,3) + 5 cdot (0,4)

Passo 5

Vamos fazer as multiplicações escalares:
3 cdot (2,1) = (6,3)
(-2) cdot (-1,3) = (2,-6)
5 cdot (0,4) = (0,20)

Passo 6

Agora, somamos esses vetores:
(6,3) + (2,-6) + (0,20) = (6+2+0, 3-6+20) = (8,17)

Resposta

Portanto, T(3,-2,5) = (8,17) .

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