- Sabendo que um espaço vetorial tem por característica uma “lei” para somas e multiplicações de elementos pertencentes ao conjunto, tomemos
como um possível espaço vetorial. Vamos nos utilizar da definição de produto
vetor
de um escalar por um vetor, entretanto a soma dos vetores
, dos vetores
e
será regida pela lei:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- O conjunto
(pares ordenados de reais). - A operação de soma entre dois vetores
e é definida por
- A multiplicação por escalar será a definição usual (isto é, para
e , estamos adotando)
- O conjunto
- O que devemos responder:
- Verificar se, com essa soma e essa multiplicação por escalar, o par
é um espaço vetorial sobre . Ou seja: todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial são satisfeitas?
- Verificar se, com essa soma e essa multiplicação por escalar, o par
Passo 2
Rápida revisão do que é preciso checar (aula-mini): um espaço vetorial sobre
exige, entre outras coisas, que a soma seja fechada, comutativa, associativa, que exista um elemento neutro (vetor zero) e inversos aditivos, e que a multiplicação escalar satisfaça certas propriedades distributivas e de compatibilidade com escalares. Vou escrever de forma simples os axiomas que mais nos interessam aqui (sem formalismo excessivo):
- A soma deve ser comutativa: para todos
vale . - Deve existir
tal que para todo . - Deve existir para cada
um inverso aditivo tal que . - A soma deve ser associativa:
. - A multiplicação escalar precisa respeitar distributividade:
e , além de e .
Observação importante de estratégia: para mostrar que não é um espaço vetorial basta encontrar UM axioma que falhe. Aqui é mais prático verificar a comutatividade da soma e a existência do elemento neutro — se algum falhar, pronto: não é espaço vetorial. Vou checar esses pontos com bastante detalhe.
Passo 3
Fechamento da soma (checagem rápida): mostrar que a soma realmente produz um par de reais.
- Dado
e com , a soma definida é
- Como
e , o resultado é um par de reais, logo a operação é fechada em .
Isto confirma apenas o fechamento; fechamento é necessário, mas não suficiente para ser espaço vetorial.
Passo 4
Verificação da comutatividade da soma (passo-chave). Vou calcular
e
e comparar componente a componente.
- Para
e temos
pois
.
- Trocar as posições:
-
Compare a segunda componente: em ambos aparece
, então a segunda componente é igual em e . -
Compare a primeira componente:
contra . Para serem iguais para TODOS os devemos ter
Rearranjando:
Ou seja, a igualdade só ocorre quando
. Para vetores gerais com
a igualdade não vale. Portanto, a soma NÃO é comutativa em geral.
- Exemplo numérico simples para evidenciar: tome
e . - Então
- E
- Logo
.
Conclusão deste passo: a operação de soma falha na propriedade de comutatividade. Isso já é suficiente para concluir que a estrutura não é um espaço vetorial.
Passo 5
Explicação didática do porquê comutatividade é importante e observação adicional (mais prática para prova): um espaço vetorial exige que a soma seja comutativa porque uma das propriedades básicas é que a ordem de adição não altera o resultado. Se isso falhar já podemos encerrar.
Mas, para fixar bem e também para treinar como verificar existência do vetor nulo (outra verificação típica), vamos mostrar que também NÃO existe elemento neutro aditivo (mais uma razão prática):
- Procura-se
tal que, para todo ,
Pela definição da soma,
Queremos que isto iguale
para todo
. Assim precisamos que, para todo
,
- Analise da primeira igualdade:
Isto deveria valer para todo
. Isso é impossível: não há
fixo que torne
para todo
(por exemplo, escolher
daria
, mas então para
teríamos
). Portanto não existe tal
.
- Analyse da segunda igualdade:
Isso exigiria
. Mesmo assim, como já a primeira componente não é possível, não existe
que funcione para todas as componentes simultaneamente.
Conclusão: não existe elemento neutro aditivo para essa operação definida, outro violador dos axiomas.
Passo 6
Síntese didática e dica de prova:
- Para provar que uma estrutura NÃO é um espaço vetorial, basta encontrar um axioma que falhe. No caso apresentado já encontramos dois falhos: a soma não é comutativa e não existe elemento neutro aditivo global.
- Na hora da prova: não perca tempo checando todos os axiomas se logo no início você encontra uma violação clara (como falta de comutatividade ou ausência do vetor zero). Mostre um cálculo simbólico curta e/ou um contraexemplo numérico (como eu mostrei com
e ) — isso é suficiente.
Resposta
O conjunto
com a soma definida por
e a multiplicação escalar usual não é um espaço vetorial.