1. Sabendo que um espaço vetorial tem por característica uma “lei” para somas e multiplicações de elementos pertencentes ao conjunto, tomemos A=R^{2} como um possível espaço vetorial. Vamos nos utilizar da definição de produto \alpha \cdot vetor v de um escalar por um vetor, entretanto a soma dos vetores U+V, dos vetores u=(x, y) e v=\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) será regida pela lei:
u+v=\left(2 x+5 x^{\prime}, y^{\prime} \cdot 3 y\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • O conjunto A=\mathbb{R}^{2} (pares ordenados de reais).
    • A operação de soma entre dois vetores u=(x,y) e v=(x',y') é definida por
    u+v=\left(2x+5x',\,y'\cdot 3y\right).
    • A multiplicação por escalar será a definição usual (isto é, para \alpha\in\mathbb{R} e v=(x,y), estamos adotando)
    \alpha\cdot v=\left(\alpha x,\,\alpha y\right).
  • O que devemos responder:
    • Verificar se, com essa soma e essa multiplicação por escalar, o par \bigl(A,\;+\;,\;\cdot\bigr) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Ou seja: todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial são satisfeitas?

Passo 2

Rápida revisão do que é preciso checar (aula-mini): um espaço vetorial sobre \mathbb{R} exige, entre outras coisas, que a soma seja fechada, comutativa, associativa, que exista um elemento neutro (vetor zero) e inversos aditivos, e que a multiplicação escalar satisfaça certas propriedades distributivas e de compatibilidade com escalares. Vou escrever de forma simples os axiomas que mais nos interessam aqui (sem formalismo excessivo):
  • A soma deve ser comutativa: para todos u,v vale u+v=v+u.
  • Deve existir 0\in A tal que u+0=u para todo u.
  • Deve existir para cada u um inverso aditivo -u tal que u+(-u)=0.
  • A soma deve ser associativa: (u+v)+w=u+(v+w).
  • A multiplicação escalar precisa respeitar distributividade: \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v e (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u, além de (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u) e 1\cdot u=u.
Observação importante de estratégia: para mostrar que não é um espaço vetorial basta encontrar UM axioma que falhe. Aqui é mais prático verificar a comutatividade da soma e a existência do elemento neutro — se algum falhar, pronto: não é espaço vetorial. Vou checar esses pontos com bastante detalhe.

Passo 3

Fechamento da soma (checagem rápida): mostrar que a soma realmente produz um par de reais.
  • Dado u=(x,y) e v=(x',y') com x,y,x',y'\in\mathbb{R}, a soma definida é
u+v=\left(2x+5x',\,y'\cdot 3y\right).
  • Como 2x+5x'\in\mathbb{R} e y'\cdot 3y=3yy'\in\mathbb{R}, o resultado é um par de reais, logo a operação é fechada em \mathbb{R}^{2}.
Isto confirma apenas o fechamento; fechamento é necessário, mas não suficiente para ser espaço vetorial.

Passo 4

Verificação da comutatividade da soma (passo-chave). Vou calcular u+v e v+u e comparar componente a componente.
  • Para u=(x,y) e v=(x',y') temos
u+v=\left(2x+5x',\,3yy'\right),
pois y'\cdot 3y=3y'y=3yy'.
  • Trocar as posições:
v+u=\left(2x'+5x,\,3y'y\right)=\left(2x'+5x,\,3yy'\right).
  • Compare a segunda componente: em ambos aparece 3yy', então a segunda componente é igual em u+v e v+u.
  • Compare a primeira componente: 2x+5x' contra 2x'+5x. Para serem iguais para TODOS os x,x' devemos ter
2x+5x'=2x'+5x.
Rearranjando:
(2x+5x')-(2x'+5x)=0 \quad\Rightarrow\quad (2-5)x + (5-2)x' = 0
\Rightarrow\quad -3x + 3x' = 0 \quad\Rightarrow\quad x'=x.
Ou seja, a igualdade só ocorre quando x'=x. Para vetores gerais com x\neq x' a igualdade não vale. Portanto, a soma NÃO é comutativa em geral.
  • Exemplo numérico simples para evidenciar: tome u=(1,0) e v=(0,0).
    • Então
    u+v=\left(2\cdot 1 + 5\cdot 0,\;3\cdot 0\cdot 0\right)=(2,0).
    • E
    v+u=\left(2\cdot 0 + 5\cdot 1,\;3\cdot 0\cdot 0\right)=(5,0).
    • Logo u+v=(2,0)\neq(5,0)=v+u.
Conclusão deste passo: a operação de soma falha na propriedade de comutatividade. Isso já é suficiente para concluir que a estrutura não é um espaço vetorial.

Passo 5

Explicação didática do porquê comutatividade é importante e observação adicional (mais prática para prova): um espaço vetorial exige que a soma seja comutativa porque uma das propriedades básicas é que a ordem de adição não altera o resultado. Se isso falhar já podemos encerrar.
Mas, para fixar bem e também para treinar como verificar existência do vetor nulo (outra verificação típica), vamos mostrar que também NÃO existe elemento neutro aditivo (mais uma razão prática):
  • Procura-se 0_A=(a,b)\in A tal que, para todo u=(x,y),
u+0_A = u.
Pela definição da soma,
u+0_A=\left(2x+5a,\,3y b\right).
Queremos que isto iguale (x,y) para todo x,y. Assim precisamos que, para todo x,y,
2x+5a = x \quad\text{e}\quad 3yb = y.
  • Analise da primeira igualdade:
2x+5a=x \quad\Rightarrow\quad 2x - x + 5a = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 5a = 0.
Isto deveria valer para todo x\in\mathbb{R}. Isso é impossível: não há a fixo que torne x+5a=0 para todo x (por exemplo, escolher x=0 daria 5a=0\Rightarrow a=0, mas então para x=1 teríamos 1+0\neq 0). Portanto não existe tal a.
  • Analyse da segunda igualdade:
3yb = y \quad\Rightarrow\quad (3b-1)y = 0\quad\text{para todo }y.
Isso exigiria 3b-1=0\Rightarrow b=\tfrac{1}{3}. Mesmo assim, como já a primeira componente não é possível, não existe 0_A que funcione para todas as componentes simultaneamente.
Conclusão: não existe elemento neutro aditivo para essa operação definida, outro violador dos axiomas.

Passo 6

Síntese didática e dica de prova:
  • Para provar que uma estrutura NÃO é um espaço vetorial, basta encontrar um axioma que falhe. No caso apresentado já encontramos dois falhos: a soma não é comutativa e não existe elemento neutro aditivo global.
  • Na hora da prova: não perca tempo checando todos os axiomas se logo no início você encontra uma violação clara (como falta de comutatividade ou ausência do vetor zero). Mostre um cálculo simbólico curta e/ou um contraexemplo numérico (como eu mostrei com u=(1,0) e v=(0,0)) — isso é suficiente.

Resposta

O conjunto A=\mathbb{R}^{2} com a soma definida por u+v=\left(2x+5x',\,y'\cdot 3y\right) e a multiplicação escalar usual não é um espaço vetorial.

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