Encontre a matriz de transição da base \mathcal{B} para a base \mathcal{C}.
p(x)=1+3 x, \mathcal{B}=\{1+x, 1-x\}, \mathcal{C}=\{2 x, 4\} em \mathscr{P}_{1}

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de \mathcal{B}=\{1+x,1-x\} para \mathcal{C}=\{2x,4\} em \mathscr{P}_1. Para isso, vamos escrever cada vetor de \mathcal{B} como combinação linear dos vetores de \mathcal{C} e usar esses coeficientes como colunas da matriz de transição.

Passo 2

Denotando v_1=1+x e v_2=1-x, procuramos (a_j,b_j) tais que
v_j \;=\; a_j\,(2x)\;+\;b_j\,(4),
então a matriz de mudança de \mathcal{B} para \mathcal{C} terá colunas \begin{pmatrix}a_j\b_j\end{pmatrix}.

Passo 3

Para v_1=1+x, igualamos coeficientes:
coeficiente de x:
a_1\cdot2 = 1 \;\Longrightarrow\; a_1 = \tfrac12,
coeficiente constante:
b_1\cdot4 = 1 \;\Longrightarrow\; b_1 = \tfrac14.

Passo 4

Para v_2=1-x, igualamos coeficientes:
coeficiente de x:
a_2\cdot2 = -1 \;\Longrightarrow\; a_2 = -\tfrac12,
coeficiente constante:
b_2\cdot4 = 1 \;\Longrightarrow\; b_2 = \tfrac14.

Passo 5

Colocando \bigl(a_1,b_1\bigr) e \bigl(a_2,b_2\bigr) como colunas, obtemos
[\mathrm{Id}]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac12\\\ \tfrac14 & \tfrac14 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac12\\\ \tfrac14 & \tfrac14 \end{pmatrix}

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