Mostre que:
(b) \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \Rightarrow \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer sistema de pontos no plano (ou no espaço), a igualdade \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}
implica \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.
O conteúdo usado aqui é álgebra vetorial básica, em particular a expressão de um vetor em função de vetores de posição: para quaisquer pontos P,Q com vetores de posição \overrightarrow{OP} e \overrightarrow{OQ}, vale \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}.

Passo 2

Escolhendo uma origem arbitrária O, escrevemos
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}, \qquad \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}.
A hipótese \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} torna-se
\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}.

Passo 3

Rearranjando termos na igualdade acima, obtemos
\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}.
Mas pelo mesmo princípio de posição de vetores, o lado esquerdo é exatamente \overrightarrow{AC}
e o lado direito é exatamente \overrightarrow{BD}. Logo, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.

Resposta

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.

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