Encontre a matriz de transição da base \mathcal{B} para a base \mathcal{C}.
p(x)=2-x, \mathcal{B}=\{1, x\}, \mathcal{C}=\{x, 1+x\} em \mathscr{P}_{1}

Passo 1

O enunciado pede a matriz de transição de coordenadas de p(x)\in\mathscr{P}_{1} da base \mathcal{B}=\{1,x\} para a base \mathcal{C}=\{x,1+x\}. O conteúdo é mudança de base em espaço vetorial: dado [p]_{\mathcal{B}}, queremos [p]_{\mathcal{C}}.

Passo 2

Seja p(x) qualquer polinômio de grau \le1. Em coordenadas de \mathcal{B} escrevemos
[p]_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}, \quad p(x)=a\cdot1+b\cdot x=a+bx.
Em \mathcal{C} queremos encontrar \alpha,\beta tais que
p(x)=\alpha\cdot x+\beta\cdot(1+x).

Passo 3

Expandindo em \mathcal{C}
p(x)=\beta +(\alpha+\beta)\,x.
Comparando com p(x)=a+bx, obtemos o sistema
\begin{cases} a=\beta,\\\ b=\alpha+\beta. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo para \alpha,\beta:
\beta=a, \qquad \alpha=b-\beta=b-a.
Logo
[p]_{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b-a\a\end{pmatrix}.

Passo 5

Isso significa que [p]_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{B}\to\mathcal{C}}\,[p]_{\mathcal{B}} com
P_{\mathcal{B}\to\mathcal{C}} =\begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{\mathcal{B}\to\mathcal{C}} =\begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

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