Encontre a matriz de transição da base \mathcal{B} para a base \mathcal{C}.
p(x)=1+x^{2}, \mathcal{B}=\left\{1+x+x^{2}, x+x^{2}, x^{2}\right\}, \mathcal{C}= \left\{1, x, x^{2}\right\} em \mathscr{P}_{2}

Passo 1

O enunciado pede a matriz de transição de \mathcal{B} para \mathcal{C} no espaço \mathscr{P}_2. Isso significa achar a matriz
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
cuja coluna j são as coordenadas, na base \mathcal{C}=\{1,x,x^2\}, do vetor b_j da base \mathcal{B}=\{\,1+x+x^2,\;x+x^2,\;x^2\}. Para isso, basta expressar cada b_j como combinação linear de 1,x,x^2.

Passo 2

Identificamos os vetores de \mathcal{B}:
b_1 = 1 + x + x^2,\quad b_2 = x + x^2,\quad b_3 = x^2.

Passo 3

Expressão de b_1 na base \mathcal{C}:
b_1 = 1\cdot1 \;+\; 1\cdot x \;+\; 1\cdot x^2,
logo suas coordenadas em \mathcal{C} são (1,1,1).

Passo 4

Expressão de b_2 na base \mathcal{C}:
b_2 = 0\cdot1 \;+\; 1\cdot x \;+\; 1\cdot x^2,
logo suas coordenadas em \mathcal{C} são (0,1,1).

Passo 5

Expressão de b_3 na base \mathcal{C}:
b_3 = 0\cdot1 \;+\; 0\cdot x \;+\; 1\cdot x^2,
logo suas coordenadas em \mathcal{C} são (0,0,1).

Passo 6

Montamos a matriz de transição colocando cada tupla de coordenadas como coluna, na ordem b_1,b_2,b_3:
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

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