Encontre a matriz de transição da base \mathcal{B} para a base \mathcal{C}.
p(x)=4-2 x-x^{2}, \mathcal{B}=\left\{x, 1+x^{2}, x+x^{2}\right\}, \mathcal{C}= \left\{1,1+x, x^{2}\right\} em \mathscr{P}_{2}

Passo 1

O enunciado pede a matriz de transição de \mathcal{B} para \mathcal{C} em \mathscr{P}_2, onde \mathcal{B}=\{\,x,\;1+x^2,\;x+x^2\} e \mathcal{C}=\{\,1,\;1+x,\;x^2\}.
Para isso vamos expressar cada vetor de \mathcal{B} como combinação linear dos vetores de \mathcal{C} e montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Expressar b_1=x em função de \mathcal{C}. Suponha
x = a\cdot1 + b\cdot(1+x) + c\cdot x^2.
Comparando coeficientes:
constante: a + b = 0
coeficiente de x: b = 1
coeficiente de x^2: c = 0.
Logo b=1, a=-1, c=0.
As coordenadas de x em \mathcal{C} são (-1,\,1,\,0).

Passo 3

Expressar b_2=1+x^2 em função de \mathcal{C}. Suponha
1 + x^2 = a\cdot1 + b\cdot(1+x) + c\cdot x^2.
Comparando coeficientes:
constante: a + b = 1
coeficiente de x: b = 0
coeficiente de x^2: c = 1.
Logo b=0, a=1, c=1.
As coordenadas de 1+x^2 em \mathcal{C} são (1,\,0,\,1).

Passo 4

Expressar b_3=x+x^2 em função de \mathcal{C}. Suponha
x + x^2 = a\cdot1 + b\cdot(1+x) + c\cdot x^2.
Comparando coeficientes:
constante: a + b = 0
coeficiente de x: b = 1
coeficiente de x^2: c = 1.
Logo b=1, a=-1, c=1.
As coordenadas de x+x^2 em \mathcal{C} são (-1,\,1,\,1).

Passo 5

Montar a matriz de transição P de \mathcal{B} para \mathcal{C} juntando essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de \mathcal{B}:
P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\ \;1 & 0 & \;1\\\ \;0 & 1 & \;1 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\ \;1 & 0 & \;1\\\ \;0 & 1 & \;1 \end{pmatrix}.

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