Nos Exercícios 9 e 10, siga as mesmas instruções dadas para os Exercícios de 1 a 4, usando A no lugar de \mathbf{x}.
Encontre a matriz de transição da base \mathcal{B} para a base \mathcal{C}.
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\},
\mathcal{C}=\left{\left[ \begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right],\left[ \begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right],\left[ \begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right],\left[ \begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]\right}) em M_{22}

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação do operador linear
T\colon M_{2\times2}\to M_{2\times2},\quad T(X)=A\,X
onde
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
na base de domínio \mathcal{B} e na base de imagem \mathcal{C}. Em outras palavras, queremos [T]_{\mathcal{C},\mathcal{B}}, de modo que, para cada vetor de coordenadas [X]_{\mathcal{B}}, tenhamos
[T]_{\mathcal{C},\mathcal{B}}\,[X]_{\mathcal{B}} = [T(X)]_{\mathcal{C}}.

Passo 2

Escrevendo as bases explicitly:
\mathcal{B}=\{\,b_1,b_2,b_3,b_4\},\quad b_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\; b_2=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; b_3=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; b_4=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},
\mathcal{C}=\{\,c_1,c_2,c_3,c_4\},\quad c_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\; c_2=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; c_3=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\; c_4=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Vamos calcular T(b_i)=A\,b_i e depois expressar cada T(b_i) como combinação linear de c_1,\dots,c_4.

Passo 3

Para b_1:
T(b_1)=A\,b_1 =\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Procuramos \alpha_j tais que
\alpha_1\,c_1+\alpha_2\,c_2+\alpha_3\,c_3+\alpha_4\,c_4 =\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações por entradas e resolvendo, obtemos \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\tfrac13.
Logo a primeira coluna de [T]_{\mathcal{C},\mathcal{B}} é
\begin{pmatrix}1/3\\\ 1/3\\\ 1/3\\\ 1/3\end{pmatrix}.

Passo 4

Para b_2 e b_3 o produto A\,b_i dá de novo \bigl[\!1\;1;\;1\;1\bigr], então suas colunas de coordenadas são idênticas à de b_1.
Para b_4:
T(b_4)=A\,b_4 =\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&0\\\ 2&0\end{pmatrix}.
Resolvendo \alpha_1c_1+\cdots+\alpha_4c_4=(2\;0;\,2\;0) obtemos \alpha_1=-\tfrac23,\;\alpha_2=\tfrac43,\;\alpha_3=\tfrac43,\;\alpha_4=-\tfrac23.
Essa será a quarta coluna de [T]_{\mathcal{C},\mathcal{B}}.

Resposta

A matriz de T(X)=A\,X de \mathcal{B} para \mathcal{C} é
[T]_{\mathcal{C},\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13 & -\tfrac23\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac43\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac43\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13 & -\tfrac23 \end{pmatrix}.

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