Nos Exercícios 9 e 10, siga as mesmas instruções dadas para os Exercícios de 1 a 4, usando A no lugar de \mathbf{x}.
Encontre a matriz de transição da base \mathcal{B} para a base \mathcal{C}. A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\},
\mathcal{C}=\left{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]\right}) em M_{22}
Passo 1
O enunciado pede a matriz de representação do operador linear
na base de domínio \mathcal{B} e na base de imagem \mathcal{C}. Em outras palavras, queremos [T]_{\mathcal{C},\mathcal{B}}, de modo que, para cada vetor de coordenadas [X]_{\mathcal{B}}, tenhamos
Escrevendo as equações por entradas e resolvendo, obtemos \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\tfrac13.
Logo a primeira coluna de [T]_{\mathcal{C},\mathcal{B}} é
Resolvendo \alpha_1c_1+\cdots+\alpha_4c_4=(2\;0;\,2\;0) obtemos \alpha_1=-\tfrac23,\;\alpha_2=\tfrac43,\;\alpha_3=\tfrac43,\;\alpha_4=-\tfrac23.
Essa será a quarta coluna de [T]_{\mathcal{C},\mathcal{B}}.
Resposta
A matriz de T(X)=A\,X de \mathcal{B} para \mathcal{C} é