Mostre que:
(a) (A, B) \sim(C, D) \Rightarrow(A, C) \sim(B, D)

Passo 1

O enunciado usa a relação de equivalência de segmentos dirigidos definida por
(A,B)\sim(C,D)\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.
Queremos mostrar que dessa hipótese segue
(A,C)\sim(B,D),
isto é, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.

Passo 2

Escrevemos os vetores \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{BD} em função de \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}:
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}.

Passo 3

Pela hipótese \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, substituímos em \overrightarrow{BD}:
\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AC}.
Logo \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}, ou seja (A,C)\sim(B,D).

Resposta

(A,B)\sim(C,D)\Rightarrow (A,C)\sim(B,D).

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